Beweis der Ungleichung a^3 + b^3 + c^3 >= 3abc

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Stephan1503 Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis der Ungleichung a^3 + b^3 + c^3 >= 3abc
Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich brauche bitte eure Hilfe bei dem Beweis zu folgender Behauptung:

Seien . Ist , so folgt .


Meine Ideen:
Ich hatte es zunächst über folgenden Ansatz versucht:

.

Für das geometrische Mittel gilt jedoch, dass der Ausdruck unter der Wurzel positiv sein muss und aus kann ich leider nicht schließen dass auch gilt.

Könnte mir jemand einen Tipp geben, wie ich dieses Problem angehen kann?

Vielen Dank!!
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis der Ungleichung a^3 + b^3 + c^3 >= 3abc
Zunächst einmal ist dieser Schluß

Zitat:
Original von Stephan1503
.

auf den ersten Blick doch etwas verwirrend.. Kannst du sagen was du da genau gemacht hast? verwirrt
Stephan1503 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis der Ungleichung a^3 + b^3 + c^3 >= 3abc
Hallo Mystic,

ich habe anstelle der drei Zahlen a,b,c die dritte Potenz dieser Zahlen verwendet, da sich hierdurch nicht das Vorzeichen umkehrt. Ich bin davon ausgegangen, dass die Relation "arithmetisches Mittel" >= "geometrisches Mittel" weiterhin gültig bleibt.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis der Ungleichung a^3 + b^3 + c^3 >= 3abc
Bei einem Test hättest du da von mir einen Punkteabzug bekommen, weil das rein formal so aussieht, als hättest du beidseitig die 3.Potenz gebildet (und auf der linken Seite dann natürlich falsch)... Also bitte das nächste mal einfach sich auf die AMGM-Ungleichung berufen und das fix und ferig mit den 3.Potenzen hinschreibenhinschreiben...

Und deine Bedenken wegen der negativen Zahlen versteh ich nicht.. Für negative Zahlen gilt ja die Ungleichung gar nicht!... geschockt
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis der Ungleichung a^3 + b^3 + c^3 >= 3abc
Bei einem Test hättest du da von mir einen Punkteabzug bekommen, weil das rein formal so aussieht, als hättest du beidseitig die 3.Potenz gebildet (und auf der linken Seite dann natürlich falsch)... Also bitte das nächste mal einfach sich auf die AMGM-Ungleichung berufen und das fix und fertig mit den 3.Potenzen hinschreiben, so macht man das professionell...

Und deine Bedenken wegen der negativen Zahlen versteh ich überhaupt nicht.. Für negative Zahlen gilt ja die AMGM-Ungleichung von Haus aus nicht!... geschockt

Edit: Sorry, hab da beim Editieren den falschen Knopf gedrückt, bitte das oben löschen...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mystic
Für negative Zahlen gilt ja die AMGM-Ungleichung von Haus aus nicht!...

Eben deshalb darf er sie ja hier nicht so ohne weiteres verwenden, denn es ist ja zunächst nur vorausgesetzt, was weniger ist als .

Bedenken sind also durchaus angebracht, ja notwendig.


Eine Alternative zu AMGM geht über eine geeignete Faktorisierung wie

 
 
Jello Biafra Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis der Ungleichung a^3 + b^3 + c^3 >= 3abc
AMGM liefert eine etwas schwächere Aussage als hier zu zeigen ist.
Also vergiss AMGM hier mal besser.

Versuchs doch mal indem Du von



ausgehst, denn das gilt ja laut Voraussetzung.

Wenn Du die rechte Seite dieser Ungleichung nun ausmultiplizierst
und dann ein ganz klein wenig umformst, so dass die Voraussetzung



mehrmals anwendbar wird, dann steht's sofort da.
Stephan1503 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis der Ungleichung a^3 + b^3 + c^3 >= 3abc
Vielen Dank schon einmal für die zahlreichen Antworten!!

Die Beiträge von HAL9000 und Jello sehen sehr vielversprechend aus. Ich werde das direkt mal ausprobieren und melde mich dann wieder.

@HAL 9000: Diesen Ansatz hatte ich auch schon ausprobiert, bin aber leider nicht auf den letzten Teil Deiner Gleichung gekommen. Hier steckt doch schon alles drin, was ich für meinen Beweis brauche, oder? Alle Terme sind >= 0.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es.
Stephan1503 Auf diesen Beitrag antworten »

Problem gelöst! Besten Dank euch allen!!

Diese Ungleichungen haben es manchmal ganz schön in sich. Es braucht wahrscheinlich einiges an Erfahrung bis man den richtigen Ansatz für einen solchen Beweis auf den ersten Blick erkennen kann.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Zitat:
Original von Mystic
Für negative Zahlen gilt ja die AMGM-Ungleichung von Haus aus nicht!...

Eben deshalb darf er sie ja hier nicht so ohne weiteres verwenden, denn es ist ja zunächst nur vorausgesetzt, was weniger ist als .

Ja, weiß auch nicht, was ich mir dabei gedacht habe, zumal ja schon der Threadersteller selbst darauf hingewiesen hatte... unglücklich

Was die Aufgabe selbst betrifft, könnte man diese auch noch als Extremwertsaufgabe

f(x,y,z)=x³+y³+z³-3xyz=Min!

unter der Nebenbedingung x+y+z 0 aufffassen, indem man zeigt, dass 0 das Minimum der Zielfunktion ist...
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