Beweis der Ungleichung a^3 + b^3 + c^3 >= 3abc |
20.11.2012, 08:38 | Stephan1503 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Beweis der Ungleichung a^3 + b^3 + c^3 >= 3abc Hallo zusammen, ich brauche bitte eure Hilfe bei dem Beweis zu folgender Behauptung: Seien . Ist , so folgt . Meine Ideen: Ich hatte es zunächst über folgenden Ansatz versucht: . Für das geometrische Mittel gilt jedoch, dass der Ausdruck unter der Wurzel positiv sein muss und aus kann ich leider nicht schließen dass auch gilt. Könnte mir jemand einen Tipp geben, wie ich dieses Problem angehen kann? Vielen Dank!! |
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20.11.2012, 08:55 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Beweis der Ungleichung a^3 + b^3 + c^3 >= 3abc Zunächst einmal ist dieser Schluß
auf den ersten Blick doch etwas verwirrend.. Kannst du sagen was du da genau gemacht hast? |
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20.11.2012, 09:09 | Stephan1503 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Beweis der Ungleichung a^3 + b^3 + c^3 >= 3abc Hallo Mystic, ich habe anstelle der drei Zahlen a,b,c die dritte Potenz dieser Zahlen verwendet, da sich hierdurch nicht das Vorzeichen umkehrt. Ich bin davon ausgegangen, dass die Relation "arithmetisches Mittel" >= "geometrisches Mittel" weiterhin gültig bleibt. |
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20.11.2012, 09:29 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Beweis der Ungleichung a^3 + b^3 + c^3 >= 3abc Bei einem Test hättest du da von mir einen Punkteabzug bekommen, weil das rein formal so aussieht, als hättest du beidseitig die 3.Potenz gebildet (und auf der linken Seite dann natürlich falsch)... Also bitte das nächste mal einfach sich auf die AMGM-Ungleichung berufen und das fix und ferig mit den 3.Potenzen hinschreibenhinschreiben... Und deine Bedenken wegen der negativen Zahlen versteh ich nicht.. Für negative Zahlen gilt ja die Ungleichung gar nicht!... |
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20.11.2012, 09:32 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Beweis der Ungleichung a^3 + b^3 + c^3 >= 3abc Bei einem Test hättest du da von mir einen Punkteabzug bekommen, weil das rein formal so aussieht, als hättest du beidseitig die 3.Potenz gebildet (und auf der linken Seite dann natürlich falsch)... Also bitte das nächste mal einfach sich auf die AMGM-Ungleichung berufen und das fix und fertig mit den 3.Potenzen hinschreiben, so macht man das professionell... Und deine Bedenken wegen der negativen Zahlen versteh ich überhaupt nicht.. Für negative Zahlen gilt ja die AMGM-Ungleichung von Haus aus nicht!... Edit: Sorry, hab da beim Editieren den falschen Knopf gedrückt, bitte das oben löschen... |
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20.11.2012, 09:49 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Eben deshalb darf er sie ja hier nicht so ohne weiteres verwenden, denn es ist ja zunächst nur vorausgesetzt, was weniger ist als . Bedenken sind also durchaus angebracht, ja notwendig. Eine Alternative zu AMGM geht über eine geeignete Faktorisierung wie |
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20.11.2012, 10:01 | Jello Biafra | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Beweis der Ungleichung a^3 + b^3 + c^3 >= 3abc AMGM liefert eine etwas schwächere Aussage als hier zu zeigen ist. Also vergiss AMGM hier mal besser. Versuchs doch mal indem Du von ausgehst, denn das gilt ja laut Voraussetzung. Wenn Du die rechte Seite dieser Ungleichung nun ausmultiplizierst und dann ein ganz klein wenig umformst, so dass die Voraussetzung mehrmals anwendbar wird, dann steht's sofort da. |
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20.11.2012, 10:33 | Stephan1503 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Beweis der Ungleichung a^3 + b^3 + c^3 >= 3abc Vielen Dank schon einmal für die zahlreichen Antworten!! Die Beiträge von HAL9000 und Jello sehen sehr vielversprechend aus. Ich werde das direkt mal ausprobieren und melde mich dann wieder. @HAL 9000: Diesen Ansatz hatte ich auch schon ausprobiert, bin aber leider nicht auf den letzten Teil Deiner Gleichung gekommen. Hier steckt doch schon alles drin, was ich für meinen Beweis brauche, oder? Alle Terme sind >= 0. |
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20.11.2012, 10:36 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
So ist es. |
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20.11.2012, 10:44 | Stephan1503 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Problem gelöst! Besten Dank euch allen!! Diese Ungleichungen haben es manchmal ganz schön in sich. Es braucht wahrscheinlich einiges an Erfahrung bis man den richtigen Ansatz für einen solchen Beweis auf den ersten Blick erkennen kann. |
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20.11.2012, 11:23 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, weiß auch nicht, was ich mir dabei gedacht habe, zumal ja schon der Threadersteller selbst darauf hingewiesen hatte... Was die Aufgabe selbst betrifft, könnte man diese auch noch als Extremwertsaufgabe f(x,y,z)=x³+y³+z³-3xyz=Min! unter der Nebenbedingung x+y+z 0 aufffassen, indem man zeigt, dass 0 das Minimum der Zielfunktion ist... |
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