Proportionalität beweisen

20.11.2012, 08:51

chillerStudent

Proportionalität beweisen

Hallo,

sei $\begin{eqnarray*} N \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} x,y,x',y'\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

Man beweise: Wenn $\begin{eqnarray*} x \equiv x'mod N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y\equiv y'mod N \end{eqnarray*}$ gilt, dann gilt $\begin{eqnarray*} xy \equiv x'y' mod N \end{eqnarray*}$ .

Ideen:
Leider habe ich keine Ahnung.
Ich brauche einen Anzatz. Wie geht ich hier am besten vor?

20.11.2012, 08:54

lgrizu

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RE: Proportionalität beweisen
Wenn gilt $\begin{eqnarray*} x \equiv x' \mod n \end{eqnarray*}$ dann ist doch $\begin{eqnarray*} x=a \cdot n+x' \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

20.11.2012, 09:19

chillerStudent

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RE: Proportionalität beweisen

Zitat:

Original von lgrizu
Wenn gilt $\begin{eqnarray*} x \equiv x' \mod n \end{eqnarray*}$ dann ist doch $\begin{eqnarray*} x=a \cdot n+x' \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

Stimmt. Ich vermute, dass du mit n das große N meinst.

Dann gilt auch dies: Wenn gilt $\begin{eqnarray*} y \equiv y' \mod n \end{eqnarray*}$ dann ist doch $\begin{eqnarray*} y=a \cdot n+y' \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

Hilft jetzt umformen weiter?

20.11.2012, 09:25

lgrizu

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RE: Proportionalität beweisen
Ich würde nicht beide Element a nennen, vielleicht eher folgendermaßen?

$\begin{eqnarray*} x = a \cdot n + x' \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} y = b \cdot n + y' \end{eqnarray*}$

und ja, jetzt hilft das Distribustivgesetz weiter, das in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ja gilt.

20.11.2012, 09:35

chillerStudent

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Ich weiß nicht, ob ich jetzt auf dem richtigen Weg bin.

$\begin{eqnarray*} x'=-an+x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x'\equiv x mod n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'=-bn+y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y'\equiv y mod n \end{eqnarray*}$

??

20.11.2012, 09:48

lgrizu

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Nö, bist du nicht.

Das aus $\begin{eqnarray*} x \equiv x' \mod n \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} x' \equiv x \mod n \end{eqnarray*}$ ist wohl klar und hier nicht zu zeigen......

Multipliziere doch einfach aus, wenn $\begin{eqnarray*} x=an+x' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=bn+y' \end{eqnarray*}$ , wie schaut denn dann wohl $\begin{eqnarray*} x \cdot y \end{eqnarray*}$ aus?

20.11.2012, 10:19

chillerStudent

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mhh...

Zitat:

Das aus $\begin{eqnarray*} x \equiv x' \mod n \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} x' \equiv x \mod n \end{eqnarray*}$

. Das hier ist jetzt für mich neu. Ich glaube, das sollte mir jetzt peinlich sein Forum Kloppe

Steht auch nichts im Skript.

Whatever:

$\begin{eqnarray*} xy = abn^2 +any' + bnx' + x'y' = an(bn+y') + x'(bn+y') \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} bn(an+x') + y'(an+x') \end{eqnarray*}$

mhh... hab grad den Überblick verloren. Also ich muss zeigen dass $\begin{eqnarray*} xy \equiv x'y' mod N \end{eqnarray*}$ gilt.

xy hab ich hier oben ausgerechnet und jetzt muss ich die Beziehung zu x'y' zeigen richtig?

NAch der "neuen" Formel kann ich dann schreiben: $\begin{eqnarray*} x'y' \equiv xy mod N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} xy=cn+x'y' \end{eqnarray*}$ << hilft mir das weiter?

oder bin ich wieder falsch?

20.11.2012, 10:25

lgrizu

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Zitat:

Original von chillerStudent

$\begin{eqnarray*} xy = abn^2 +any' + bnx' + x'y' \end{eqnarray*}$

So, das ist doch schon mal ganz gut.

Bei dem Rest verstehe ich nicht, weiso du unbedingt die Beziehung $\begin{eqnarray*} x \equiv x' \mod n \Leftrightarrow x' \equiv x \mod n \end{eqnarray*}$ verwenden möchtest.....

Nun noch mal das Distributivgesetz anwenden, diesmal in die andere Richtung auf den gemeinsamen Faktor n, so dass dort steht:

$\begin{eqnarray*} ( \textbf{irgendein Ausdruck} ) \cdot n +x' \cdot y' \end{eqnarray*}$

und dann ist man eigentlich schon fertig......

20.11.2012, 10:30

chillerStudent

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$\begin{eqnarray*} (abn+ay'+bx)*n+x'y' \end{eqnarray*}$

Das heißt, ich habe mit $\begin{eqnarray*} xy=an+x'y' \end{eqnarray*}$ bewiesen. $\begin{eqnarray*} a=abn+ay'+bx \end{eqnarray*}$

20.11.2012, 10:39

lgrizu

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Nun gewöhn dir zunächst einmal an, nicht alle Unbekannte mit dem selben Buchstaben zu belegen, dann wird es falsch, denn im allgemeinen gilt a=a.....

Also haben wir:

$\begin{eqnarray*} x \cdot y=\underbrace{(abn+ay'+bx')}_{\in \mathbb Z} \cdot n+x'y' \end{eqnarray*}$

So, nun noch einen Satz dazu schreiben und fertig.....

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