Basis beweisen

20.11.2012, 14:13

akamanston

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Basis beweisen

hi,

hoffe mir kann jemand bei folgender aufgabe helfen.

sei W = |R[X] dervektorraum aller polynome mit r koeff.
p_n(x)=x^n ist monom von grad n.
nun soll ich zeigen dass B={p0,p1,...,pn,...} eine basis von V ist

ich weiß zumindest das zwei bedingungen erfüllt sein müssen.
1. lineare unabhängigkeit der vektoren
2. beliebigervektor mittels basiselemente als linearkomb. darstellbar.
naja viel mehr kann ich nciht liefern.

zur lin. unabhängigkeit dachte ich mir vlt noch

0=lambda1*x^1 + lamb2*x^2+ ... + lamb_n*x^n

20.11.2012, 14:33

Mazze

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Zitat:

zur lin. unabhängigkeit dachte ich mir vlt noch 0=lambda1*x^1 + lamb2*x^2+ ... + lamb_n*x^n

Das ist schon fast in Ordnung. Du hast aber eine sehr wichtige Sache vergessen. Die Polynome heissen linear Unabhängig, wenn

für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gilt :

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 x^0 + ... \lambda_{n+1} x^n = 0 \Rightarrow \lambda_1,...,\lambda_{n+1} = 0 \end{eqnarray*}$

(Beachte dass x^0 auch ein Monom ist)

So, das Wesentliche hier ist wirklich dass für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Die Lambdas sind konstanten. Und wir suchen Konstanten, so dass für alle x die Linearkombination 0 ergibt. Da das für alle x gilt, gilt das auch für spezielle x. Wähle bestimmte x-Werte so dass Du bestimmte Lambdas = 0 setzen kannst. Auf diese Art und Weise kannst Du zeigne das alle Lambdas gleich 0 sein müssen.

20.11.2012, 15:36

akamanston

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und wei funktioniert der 2te punkt der nachgewiesen werden muss?

2. beliebigervektor mittels basiselemente als linearkomb. darstellbar.naja viel mehr kann ich nciht liefern.

20.11.2012, 15:38

Mazze

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Naja, ein bel. Vektor ist erstmal ein Polynom vom grad m

$\begin{eqnarray*} p(x) = \sum_{k=0}^ma_kx^k \end{eqnarray*}$

und wenn man genau hinsieht steht da schon die linearkombination aus Basisvektoren.

20.11.2012, 17:19

akamanston

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Zitat:

Original von Mazze

Zitat:

zur lin. unabhängigkeit dachte ich mir vlt noch 0=lambda1*x^1 + lamb2*x^2+ ... + lamb_n*x^n

Das ist schon fast in Ordnung. Du hast aber eine sehr wichtige Sache vergessen. Die Polynome heissen linear Unabhängig, wenn

für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gilt :

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 x^0 + ... \lambda_{n+1} x^n = 0 \Rightarrow \lambda_1,...,\lambda_{n+1} = 0 \end{eqnarray*}$

(Beachte dass x^0 auch ein Monom ist)

So, das Wesentliche hier ist wirklich dass für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Die Lambdas sind konstanten. Und wir suchen Konstanten, so dass für alle x die Linearkombination 0 ergibt. Da das für alle x gilt, gilt das auch für spezielle x. Wähle bestimmte x-Werte so dass Du bestimmte Lambdas = 0 setzen kannst. Auf diese Art und Weise kannst Du zeigne das alle Lambdas gleich 0 sein müssen.

ich verstehs nicht.
erstmal grundlegendes wieso schreibsst du beim lambda das n+1 hinzu, geht das nicht bis n?
bei der summe, die du aufgeschrieben hast, wieo bis m und nicht bis n? das a ist in meinem fall ja das lambda.
ich versteh nicht wieso das schon fast richtig ist, bisher habe ich doch eigentlich nur abgeschrieben?
du hasst geschrieben ich soll x null werden lassen. x ist immerdann null wenn x=0 aber dann ist doch auch jedes lambda =0

20.11.2012, 17:33

Mazze

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Zitat:

erstmal grundlegendes wieso schreibsst du beim lambda das n+1 hinzu, geht das nicht bis n?

Polynome vom Grad n haben n+1 Koeffizienten (die Konstante am Ende). Du betrachtest die Basis der Monomome und dazu gehört auch das Polynom $\begin{eqnarray*} x^0 \end{eqnarray*}$ also haben wir 0 bis n Koeffizienten, was n+1 Lambdas ergibt.

Zitat:

bei der summe, die du aufgeschrieben hast, wieo bis m und nicht bis n? das a ist in meinem fall ja das lambda.

Wir betrachten ja den Vektorraum der reellen Polynome vom Grad n. Jedes Polynom vom Grad $\begin{eqnarray*} m \leq n \end{eqnarray*}$ gehört dazu. Mehr ist da nicht dabei.

Zitat:

ich versteh nicht wieso das schon fast richtig ist, bisher habe ich doch eigentlich nur abgeschrieben?

Mit in Ordnung meine ich, dass die Aussage die zu zeigen ist ordentlich formuliert wurde. (nicht bewiesen)

Zitat:

du hasst geschrieben ich soll x null werden lassen.

Das habe ich nicht! Lies nochmal genau was ich schrieb.

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20.11.2012, 17:38

akamanston

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Zitat:

Original von Mazze
Wähle bestimmte x-Werte so dass Du bestimmte Lambdas = 0 setzen kannst.

wenn (bestimmte) lambdas =0 sind müssen die dazugehörigen x=0 sonst gehtdas doch gar nicht.

20.11.2012, 17:44

Mazze

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Zitat:

wenn (bestimmte) lambdas =0 sind müssen die dazugehörigen x=0 sonst gehtdas doch gar nicht.

Du verdrehst die Richtungen. Nicht weil bestimmte Lambdas = 0 sind müssen gewisse x = 0 sein, sondern für bestimmte x Werte ergibt sich dass bestimmte Lambdas gleich null sein müssen.

Nehmen wir also

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 + \lambda_2 x + ...+ \lambda_nx^n = 0 \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung soll für alle x erfüllt sein. Setze x = 0, dann folgt

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 = 0 \end{eqnarray*}$

Damit also die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 + \lambda_2 x + ...+ \lambda_nx^n = 0 \end{eqnarray*}$

für alle x gilt, muss bereits

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 = 0 \end{eqnarray*}$

gelten. Auf diesem Weg kannst Du dich an den Koeffizienten entlang hangeln bis alle Gleich null sind. Es kann sein das Du für bestimmte Koeffizienten mehrere x betrachten musst.

edit :

Es gibt übrigens einen alternativen Weg. Wenn Du weißt , dass der Einsetzungshomomorphisums auf unendlichen Körpern injektiv ist, kannst Du den Beweis sehr schnell über einen Widerspruchsbeweisen erbringen. Ansonsten wäre die lineare Unabhängigkeit wie oben zu zeigen.

20.11.2012, 18:13

akamanston

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ok, also zumindest sehe ich jetz auch in meinem beispiel, dass die gleichung für alle x uns schon mal lamba1=0 liefert. das ist immer so.

Auf diesem Weg kannst Du dich an den Koeffizienten entlang hangeln bis alle Gleich null sind. Es kann sein das Du für bestimmte Koeffizienten mehrere x betrachten musst.

das lambda1 ist ja einfach zu erkennen, weil es von x unabhängig ist. aber wie soll ihc denn die anderen definieren? das geht doch gar nicht. wenn ich zB x=1 währe dann bleibt lambda1+lambda2+lambda3 ... bis lambda_n

für x=2
lambda1+lambda2*2+lambda3*2^2+lambda_n*2^n

20.11.2012, 18:20

Mazze

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Also, wir wissen ja, dass $\begin{eqnarray*} \lambda_1 = 0 \end{eqnarray*}$ ist. Damit untersuchen wir nur noch

$\begin{eqnarray*} \lambda_2 x + \lambda_3x^2 + ... x \lambda_{n+1}x^n = 0 \end{eqnarray*}$

Ausklammern von x ergibt :

$\begin{eqnarray*} x(\lambda_2+ \lambda_3x + ... x \lambda_{n+1}x^{n-1}) = 0 \end{eqnarray*}$

Daraus ergibt sich

$\begin{eqnarray*} \lambda_2+ \lambda_3x + ... x \lambda_{n+1}x^{n-1} = 0 \end{eqnarray*}$ (für alle x ungleich 0)

Aus Stetigkeitsgründen muss dann aber auch $\begin{eqnarray*} \lambda_2+ \lambda_3x + ... x \lambda_{n+1}x^{n-1} = 0 \end{eqnarray*}$ für x = 0 gelten. Also muss $\begin{eqnarray*} \lambda_2 = 0 \end{eqnarray*}$ sein. Und wieder ausklammern.

Den Vorgang kann man natürlich mit vollständiger Induktion wesentlich eleganter formulieren. Voraussetzung ist natürlich, dass Du weißt, dass Polynome stetig sind.

20.11.2012, 18:28

akamanston

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Zitat:

Original von Mazze
Daraus ergibt sich

$\begin{eqnarray*} \lambda_2+ \lambda_3x + ... x \lambda_{n+1}x^{n-1} = 0 \end{eqnarray*}$ (für alle x ungleich 0)

Aus Stetigkeitsgründen muss dann aber auch $\begin{eqnarray*} \lambda_2+ \lambda_3x + ... x \lambda_{n+1}x^{n-1} = 0 \end{eqnarray*}$ für x = 0 gelten. Also muss $\begin{eqnarray*} \lambda_2 = 0 \end{eqnarray*}$ sein. Und wieder ausklammern.

x=!0
und anschließen x=0 ? kannst du mir das erklären^^

aber das system ist jetzt klar. aber bei einer algebra aufgabe werde ich doch wohl keine induktion ausführen müssen? falls doch, ohje..

20.11.2012, 18:31

Mazze

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Zitat:

aber das system ist jetzt klar. aber bei einer algebra aufgabe werde ich doch wohl keine induktion ausführen müssen?

Vollständige Induktion ist ein grundlegendes Beweisprinzip was auch in vielen späteren Veranstaltungen noch benutzt wird. Grundsätzlich kann man die Analysis und lineare Algebra Vorlesungen als Handwerkszeug für die späteren Sachen betrachten.

Zitat:

und anschließen x=0 ?

Das folgt aus der Stetigkeit. Wenn

$\begin{eqnarray*} \lambda_2+ \lambda_3x + ... x \lambda_{n+1}x^{n-1} = 0 \end{eqnarray*}$

für alle x ungleich 0 gilt, dann folgt aus der Stetigkeit von Polynomen dass auch

$\begin{eqnarray*} \lambda_2+ \lambda_3x + ... x \lambda_{n+1}x^{n-1} = 0 \end{eqnarray*}$

für x = 0 gilt.

20.11.2012, 20:05

akamanston

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RE: Basis beweisen
Daraus ergibt sich $\begin{eqnarray*} \lambda_2+ \lambda_3x + ... x \lambda_{n+1}x^{n-1} = 0 \end{eqnarray*}$ (für alle x ungleich 0)Aus Stetigkeitsgründen muss dann aber auch $\begin{eqnarray*} \lambda_2+ \lambda_3x + ... x \lambda_{n+1}x^{n-1} = 0 \end{eqnarray*}$ für x = 0 gelten. Also muss $\begin{eqnarray*} \lambda_2 = 0 \end{eqnarray*}$ sein.

das ganze gilt im ersten schritt für lambda1=0 auch schon? weil du es da nciht geschrieben hast?!

sagen wir erstmal für x=!0 damit um den trivialen fall auszuchließen? ist x=0 ein fall der trivial ist. und anschließend wäre jedes lambda=0.
........

hmm ne ich vertehs nicht. was da der sinn ist. und für so eine mini aufgabe verschwende ich so viel zeit, und das war nur der erste teil, der andere teil mit dem
2. beliebigervektor mittels basiselemente als linearkomb. darstellbar.naja viel mehr kann ich nciht liefern.
kommt ja erst noch.

20.11.2012, 20:11

Mazze

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Zitat:

das ganze gilt im ersten schritt für lambda1=0 auch schon? weil du es da nciht geschrieben hast?!

Im ersten Schritt untersuchen wir ja

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 + \lambda_2 x + ...+ \lambda_nx^n = 0 \end{eqnarray*}$

für alle x. Dann setzen wir x gleich null, folgern was zu folgern ist und haben dann

$\begin{eqnarray*} x(\lambda_2+ \lambda_3x + ... x \lambda_{n+1}x^{n-1}) = 0 \end{eqnarray*}$

Jetzt teilen wir diese Gleichung durch x, das heißt wir müssen x ungleich 0 annehmen. Danach haben wir also

$\begin{eqnarray*} \lambda_2+ \lambda_3x + ... x \lambda_{n+1}x^{n-1} = 0 \end{eqnarray*}$

für alle x ungleich 0. Aus Stetigkeitsgründen haben wir dann aber auch diese Gleichung für x = 0.

Zitat:

2. beliebigervektor mittels basiselemente als linearkomb. darstellbar.naja viel mehr kann ich nciht liefern. kommt ja erst noch.

Diese Teilaufgabe ist noch wesentlicher einfacher. Diese wird schon durch korrektes Aufschreiben gelößt.

20.11.2012, 20:35

akamanston

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Im ersten Schritt untersuchen wir ja $\begin{eqnarray*} \lambda_1 + \lambda_2 x + ...+ \lambda_nx^n = 0 \end{eqnarray*}$

das ist jetzt ernst gemeint, aber müste das nicht n+1 sein? beim lambda?

ist wenn ich lambda3 berechne der exponent n-2 oder?

denkst du das reicht wenn ich nach den ersten zwei/drei beipielen sage, dass alle folgenden lambda auch =0 sind?

20.11.2012, 20:41

Mazze

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Zitat:

das ist jetzt ernst gemeint, aber müste das nicht n+1 sein? beim lambda?

Ja, gut aufgepasst!

Zitat:

denkst du das reicht wenn ich nach den ersten zwei/drei beipielen sage, dass alle folgenden lambda auch =0 sind?

Wie gesagt, ich würde einen Induktionsbeweis führen.

20.11.2012, 20:55

akamanston

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ist dann die induktionsannahme

summe von k=0 bis n über (lambda_k*x^k)= $\begin{eqnarray*} \lambda_1 + \lambda_2 x + ...+ \lambda_nx^n = 0 \end{eqnarray*}$

also mit lambda n+1

20.11.2012, 20:58

Mazze

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Induktionsannahme : n = 0

Offenbar ist $\begin{eqnarray*} x^0 \end{eqnarray*}$ als einzelner Vektor linear Unabhängig.

Induktionsvoraussetzung : Es gibt ein $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} x^0,x^1,...,x^n \end{eqnarray*}$ linear Unabhängig sind.

Induktionsbehauptung :

$\begin{eqnarray*} x^0,x^1,...,x^{n+1} \end{eqnarray*}$

sind linear Unabhängig. Das bleibt noch übrig. Hierfür musst Du dann einmal unsere Überlegungen verwenden.

20.11.2012, 21:13

akamanston

Auf diesen Beitrag antworten »

ichbin jetzt verwirrt, eine induktion wie ich sie bisher kannte sah immer ganz anders aus. was hat das alles mit lambda z utun?

edit: ne ne ne, das schaff ich nicht,ich weiß nicht mehr wo der kopf hängt

20.11.2012, 21:31

Mazze

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Zitat:

ichbin jetzt verwirrt, eine induktion wie ich sie bisher kannte sah immer ganz anders aus. was hat das alles mit lambda z utun?

Wie ich Dir schonmal gesagt habe, Du musst genau aufschreiben was zu zeigen ist.

Die Aufgabe ist zu beweisen, dass $\begin{eqnarray*} x^0,...,x^{n} \end{eqnarray*}$ linear Unabhängig sind.

Nach Definition ist eine Menge von Vektoren linear Unabhängig, wenn gilt :

$\begin{eqnarray*} \lambda_1x^0 + ...+ \lambda_{n+1}x^n = 0 \Rightarrow \lambda_1,...,\lambda_{n+1} = 0 \end{eqnarray*}$

So, den Induktionsanfang führen wir für n = 0. Hier ist es Äußerst trivial, da ein Vektor immer linear Unabhängig ist solange er nicht der Nullvektor ist. Und da $\begin{eqnarray*} x^0 = 1 \end{eqnarray*}$ ist folgt die Induktionsvoraussetzung :

$\begin{eqnarray*} \exists n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} x^0,...,x^n \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind. Induktionsschritt :

Es ist zu zeigen dass dann auch

$\begin{eqnarray*} x^0,...,x^{n+1} \end{eqnarray*}$

sind. Betrachten wir also

$\begin{eqnarray*} \lambda_1x^0 + ...+ \lambda_{n+2}x^{n+1} = 0 \end{eqnarray*}$

Setze jetzt x = 0, schließe dass $\begin{eqnarray*} \lambda_1 = 0 \end{eqnarray*}$ sein muss, kürze durch x, nutze dass Stetigkeitsargument und anschließend die Induktionsvoraussetzung um die Aussage entgültig zu beweisen.

20.11.2012, 21:38

akamanston

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DAS war unnötig, ohman, bin so verwirrt

20.11.2012, 21:39

Mazze

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Was ? Ich hab doch aufgeschrieben was zu zeigen ist.

20.11.2012, 21:40

akamanston

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letzte frage für heute.
wie sieht das aus mit der induktionsvoraussetzung. kannst du mir den letzten schirtt mal kurz erkären

20.11.2012, 22:37

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, was genau meinst Du? Die Induktionsvoraussetzung wurde gezeigt da wir für n = 0 die lineare Unabhängigkeit gezeigt werden konnte.

20.11.2012, 22:41

akamanston

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um die aussage endgültig zu beweisen benötige ich die voraussetzung. aber damit komm ich nicht klar

ohamn, und dann noch den zweiten teil, mit dem ordentlichen aufschreiben. das hast du ja schon angedeutet, dass man es als summe erkennt, naja ich erkenns natürlich nciht

20.11.2012, 22:45

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

um die aussage endgültig zu beweisen benötige ich die voraussetzung. aber damit komm ich nicht klar

Die Voraussetzung haben wir doch bewiesen. Es ist jetzt noch die Induktionsbehauptung zu zeigen.

20.11.2012, 22:53

akamanston

Auf diesen Beitrag antworten »

das meien ich
Setze jetzt x = 0, schließe dass $\begin{eqnarray*} \lambda_1 = 0 \end{eqnarray*}$ sein muss, kürze durch x, nutze dass Stetigkeitsargument und anschließend die Induktionsvoraussetzung um die Aussage entgültig zu beweisen.

20.11.2012, 22:57

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Warum machst Du es nicht einfach? Wenn Du die beschriebenen Schritte machst kommst Du zu

$\begin{eqnarray*} \lambda_2+ \lambda_3x + ... + \lambda_{n+2}x^{n} = 0 \end{eqnarray*}$ für alle x.

Nach Induktionsvoraussetzung sind alle $\begin{eqnarray*} \lambda_2,...,\lambda_{n+2} = 0 \end{eqnarray*}$ und da Lambda_1 auch gleich 0 ist folgt die lineare Unabhängigkeit und damit die Ganze Aussage nach Induktion.

20.11.2012, 23:19

akamanston

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mazze
Naja, ein bel. Vektor ist erstmal ein Polynom vom grad m

$\begin{eqnarray*} p(x) = \sum_{k=0}^ma_kx^k \end{eqnarray*}$

und wenn man genau hinsieht steht da schon die linearkombination aus Basisvektoren.

hmmm

20.11.2012, 23:23

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Es seien $\begin{eqnarray*} \lambda_1,...,\lambda_n \in \mathbb{K} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_1,...,v_n \in V \end{eqnarray*}$ wobei V ein Vektorraum über $\begin{eqnarray*} \mathbb{K} \end{eqnarray*}$ ist. Dann heißt

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n \lambda_i v_i \end{eqnarray*}$

Linearkombination.

So , und nichts anderes steht hier

$\begin{eqnarray*} p(x) = \sum_{k=0}^ma_kx^k \end{eqnarray*}$

20.11.2012, 23:32

akamanston

Auf diesen Beitrag antworten »

also bei mir steht natürlich
$\begin{eqnarray*} p(x) = \sum_{k=0}^mlambda_kx^k \end{eqnarray*}$ da.
was ist denn bei mir der körper K?

20.11.2012, 23:33

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Du betrachtest $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[x] \end{eqnarray*}$ , also was ist dein Körper, was sind deine Vektoren?

20.11.2012, 23:35

akamanston

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vektorraum v über R[x] vektoren sind p(x)...

20.11.2012, 23:40

Mazze

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Zitat:

vektorraum v über R[x] vektoren sind p(x)...

Das ergibt keinen Sinn. Der Vektorraum ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[x] \end{eqnarray*}$ . Das sind die Polynome in den reellen Zahlen. Der Körper ist also $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und der Vektorraum wird bezeichnet als $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[x] \end{eqnarray*}$ . Aber ja, die Polynome

$\begin{eqnarray*} p(x) = \sum_{i=0}^m a_i x^i \end{eqnarray*}$

sind die Vektoren in diesem Vektorraum. Und offensichtlich ist jedes Polynom eine Linearkombination der Monome, daher ist Teil b) bereits erledigt.

20.11.2012, 23:49

akamanston

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ja ok hiermit beenden wir das mal, ich danke dir recht herzilch für deine hilfe, du hast mirsehr geholfen. danke für deine mühen und vor allem für die zeit die du geopfert hast

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