Trigonometrische Funktionen als Grenzwert

15.07.2004, 22:05	Hanno	Auf diesen Beitrag antworten »
Trigonometrische Funktionen als Grenzwert Hiho. Ich habe gerade mal den Beweis für die "Partialbruchentwicklung des Kotangens" ( Gustav Herglotz & Euler ) durchgeackert und habe am Rand des Buches ( Das BUCH ) die Kosinus und Sinus-Funktion als Grenzwert zweier Folgen gesehen, die wie folgt lauteten: 1.) Für Kosinus $\begin{align} cos(x)=\lim_{n\to\infty}\Bigsum_{i=0}^{n}{(-1)^i\cdot\frac{x^{2i}}{(2i)!} \end{align}$ 2.) Für den Sinus $\begin{align} sin(x)=\lim_{n\to\infty}\Bigsum_{i=0}^{n}{(-1)^i\cdot\frac{x^{2i+1}}{(2i+1)!} \end{align}$ Schön fand ich schonmal, dass man daran sofort sieht, warum Sinus Punktsymmetrisch und Kosinus Achsensymmetrich ist. Aber meine Frage ist nun, wie man eben auf diese Reihen kommt? Danke schonmal! Gruß, Hanno
15.07.2004, 23:01	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es kommt ganz auf den Blickpunkt an. Wenn man, der historischen Entwicklung folgend, sin x und cos x geometrisch (Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck, Fortsetzung am Einheitskreis) einführt und dann über geometrische Grenzwertbetrachtungen die Ableitungen der beiden Funktionen bestimmt, dann sind doch die von dir genannten Reihen nichts anderes als die Taylorreihen dieser Funktionen. Man muß dann nur noch zeigen, daß das Restglied gegen Null strebt - und schon hat man die Identität der Taylorreihe mit sin x bzw. cos x. In heutiger Zeit werden bei einem strengen mathematischen Zugang geometrische Argumentationen abgelehnt (insofern man die Geometrie nicht axiomatisch begründen will). In moderner Literatur werden, die Geschichte auf den Kopf stellend, sin x und cos x geradezu durch die beiden Reihen definiert. Dann muß man natürlich irgendwie auf die Zahl $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ kommen und den Zusammenhang mit dem Kreis herstellen. Dieser Zugang ist zwar methodisch korrekt und begrifflich sauber - aber sin x und cos x fallen dabei irgendwie vom Himmel. Genaueres findest du in jedem Analysis-I/II-Buch. Siehe auch den aktuell laufenden Thread über die Eulersche Zahl e.
16.07.2004, 09:19	knatterton	Auf diesen Beitrag antworten »
Kombiniere: Der Matheraum braucht dich, Hanno ! :] Nick
16.07.2004, 12:08	Hanno	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Leopold. Hmm, mit Taylorreihen habe ich mich noch nicht beschäftigt. Was meinst du mit "über geometrische Grenzwertbetrachtungen die Ableitungen der beiden Funktionen bestimmt" ? Das verstehe ich noch nicht so ganz. Danke schonmal. Gruß, Hanno
16.07.2004, 13:58	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
siehe z.B. http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=3402

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