Wendepunkt der Gesamtkostenkurve

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20.11.2012, 16:47	patfan1980111	Auf diesen Beitrag antworten »
Wendepunkt der Gesamtkostenkurve Hallo, K(x) ist bei mir 0,5x^3 - 3x^2 + 8x + 8 E(x)=8x In einer Teilaufgabe heißt es nun: "Bei welcher Produktionsmenge wechselt die Kostenkurve vom unterproportionalen zum überproportionalen Verkauf (Wendepunkt an der Gesamtkostenkurve)?" Was ist darunter zu verstehen? Welche Schritte muss ich beachten? Eine weitere Teilaufgabe lautet so: "Bei welcher Produktionsmenge wird der maximale Gewinn erzielt? 1 ME entspricht 1000 Stück; 1 GE entspricht 1000 EUR). -> Hier habe ich das Nutzenmaximum ausgerechnet, leider kam ich auf Nm (0/8). Der maximale Gewinn kann bei 0 Stk. aber doch nicht bei 8.000€ liegen, oder? Habe hierfür zunächst die Ableitung G'(x) gebildet, das war -1,5x^2-6x. Und dann habe ich ausgeklammert, x1 war 0 und x2 war -4. Durch die zweite Ableitung G''(x) habe ich herausgefunden, dass man mit 0 als x ein Maximum herauskommt. Daher habe ich mit 0 wetergerechnet und diese 0 in G(x) eingesetzt. Ergebnis: Nm (0/8). Was mache ich hier falsch?
20.11.2012, 17:21	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, In dem Wendepunkt ist die Kostensteigerung pro Einheit gleich Null. In deinem Fall ist rechts des Wendepunktes die Kostensteigerung pro Einheit größer Null. Das heißt, dass die Kostenzunahme pro Einheit positiv ist und somit die Kostenkurve einen überproportionalen Verlauf annimmt. Jetzt würde ich den Wendepunkt einfach mal ausrechnen. 2. Ableitung Null setzen. Ich würde zur Ermittlung des Gewinnmaximums eine andere Gewinnfunktion aufstellen: $\begin{eqnarray} G(x)=E(x)-K(x)=8x-( 0,5x^3 - 3x^2 + 8x + 8)=... \end{eqnarray}$ Was kommt da raus? Grüße.
20.11.2012, 17:37	patfan1980111	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} G(x)=E(x)-K(x)=8x-( 0,5x^3 - 3x^2 + 8x + 8)=... \end{eqnarray}$ Da kommt $\begin{eqnarray} G(x)= -0,5x^3 +3x^2-8 \end{eqnarray}$ raus, oder nicht? Danach habe ich wie gesagt 1. Ableitung gemacht, da kam dann $\begin{eqnarray} G'(x)= -1,5x^2 +6x \end{eqnarray}$ raus. Und da habe ich dann ausgeklammert, etc. bis ich (wohl fälschlicherweise) auf Nm (0/8) kam.
20.11.2012, 17:43	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
In deinem ersten Beitrag stand: $\begin{eqnarray} -1,5x^2\textcolor{red}{-}6x \end{eqnarray}$ Bei der jetzigen Form bekommst du ein anderes zweites x.
20.11.2012, 17:46	patfan1980111	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja stimmt, habe den Vorzeichenfehler eben auch bemerkt. Ich habe als x nun 0 und 4. Dann hatte ich mit G''(0) + 6 raus --> Minimum. Damit rechne ich also weiter. G(0) kam 8 raus, also Nm bei (4/8)? Der maximale Gewinn beträgt bei 4.000 Stück 8.000€?
20.11.2012, 17:55	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe ich auch.
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20.11.2012, 18:06	patfan1980111	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir jaben uns aufgeschrieben, dass G''(x) <0 also ein Maximum sein muss. Mit dem haben wir dann immer weiter gerechnet. Also müsste ich doch mit 4 , also G(4) weiterrechnen, weil G''(4)= -6<0 ist. Dann komme ich aber auf Nm (4/-72). Und ein maximaler Gewinn kann doch nicht bei -72.000€ liegen, oder?
20.11.2012, 18:19	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei was kommst du auf (4/-72) ? Wo hast du die 4 eingesetzt? G(4)=8 war ja richtig.
20.11.2012, 18:23	patfan1980111	Auf diesen Beitrag antworten »
G''(x)= -3x+6 G''(4)= -3(4)+6=-6<0--> Maximum! Mit Maximum weiterrechnen, also: G(4)= -0,5(4)^3-3*(4)^2 + 8= -72 --> Nm bei (4/-72). Wir haben das so aufgeschrieben: notwendige Bedingung: G'(x)=0 hinreichende Bedingung: G''(x)<0
20.11.2012, 18:31	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast um 17.37 folgendes geschrieben: $\begin{eqnarray} G(x)= -0,5x^3 +3x^2-8 \end{eqnarray}$ Jetzt schreibst du: $\begin{eqnarray} G(4)= -0,5(4)^3-3(4)^2 + 8 \end{eqnarray}$ Ich sehe da ein Widerspruch bei den Vorzeichen.
20.11.2012, 18:41	patfan1980111	Auf diesen Beitrag antworten »
Also nochmal von vorne: E(x) ist 8x K(x) ist 0,5x^3 - 3x^2 + 8x + 8 Daraus folgt, dass G(x) das hier sein muss: G(x)= -0,5x^3 + 3x^2 - 8 G'(x)= -1,5x^2 + 6x ausklammern, dann x1=0 und x2=4 G''(x)=-3x+6 G''(4)= -3(4)+6= -6 <0--> Maximum mit 4 also weiterrechnen: G(4)= -0,5(4)^3-3*(4)^2 - 8= -88 Dann liegt Nm bei (4/-88). Aber wieso ist die GE-Einheit im negativen Bereich? Das kann ja auch nicht stimmen...
20.11.2012, 19:02	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe dich heute echt nicht. Du scheinst anscheinend heute schon zu müde zu sein. Du schreibst in deinem letzten Beitrag: $\begin{eqnarray} -0,5x^3 + 3x^2 - 8 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -0,5(4)^3-3(4)^2 - 8 \end{eqnarray}$ Siehst du denn nicht den Unterschied bei dem einen Vorzeichen?
20.11.2012, 19:08	patfan1980111	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, also dann G(4)= -0,5(4)^3 + 3(4)^2 - 8= 8 Dann liegt der maximale Gewinn bei 4.000 Stück bei 8.000€? --> Nm (4/8) Ja, so was passiert, wenn man schon am Anfang so blöde Vorzeichenfehler hat, wie ich. Und wie ist das jetzt mit dem Wendepunkt gemeint? Soll ich G''(x)=0 machen oder wie?
20.11.2012, 19:10	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich die Aufgabe richtig verstanden habe sollst du diese Gleichung aufstellen: $\begin{eqnarray} K''(x)=0 \end{eqnarray}$
20.11.2012, 19:13	patfan1980111	Auf diesen Beitrag antworten »
K(x)= 0,5x^3 - 3x^2 + 8x + 8 K'(x)= 1,5x^2 - 6x+8 K''(x)= 3x-6 3x-6 = 0 / +6 3x = 6 / : 3 x= 2 Und wie würde es dann weitergehen?
20.11.2012, 19:24	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigentlich bist du ja schon fertig. Du hast die Produktionsmenge X=2000 gefunden. Du könntest höchstens noch zeigen, dass die Kosten für x<2 unterproportional und für x>2 überproportional steigen. Dafür setzt du jeweils die entsprechenden Werte in die 2. Ableitung der Kostenfunktion ein. Einmal einen Wert <2 und einmal einen Wert >2. Ist $\begin{eqnarray} K''(x) \end{eqnarray}$ dann >0, dann hat die Kostenfunktion in dem ensprechenden Bereich einen überproportionalen Verlauf. Ist dagegen $\begin{eqnarray} K''(x) \end{eqnarray}$ dann <0, dann hat die Kostenfunktion in dem ensprechenden Bereich einen unterproportionalen Verlauf. Edit: Bin mal kurz essen. Das Wesentliche ist ja auch geklärt. Werde natürlich trotztdem anworten - nur etwas später.
20.11.2012, 19:28	patfan1980111	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank. (P.S.: Ja, ich bin tatsächlich Müde! )
20.11.2012, 19:30	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Gerne. Dann wünsche ich Dir eine erholsame Nacht. Bis demnächst mal wieder.

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