Konvergenz nach Leibnitz - Widerspruch

20.11.2012, 17:32

klaus1111

Konvergenz nach Leibnitz - Widerspruch

Hallo,

ich plage mich mit dieser Aufgabe schon lange, ich verstehe einfach nicht, wieso diese Reihe divergiert wenn doch das leibnitz Kriterium zutrifft.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}-1 } -\frac{1}{\sqrt{n} +1} \end{eqnarray*}$
Weil das nächste a ist immer kleiner als das vorige und es werden immer positive Summen addiert, oder anders es werden immer positive Summen subtrahiert. Und deswegen muss die Reihe < an sein und deswegen entsricht es dem Kriterium.

Wieso devergiert sie dann wenn ich sie mit der divergenten Minorante 1/1 vergleiche?

20.11.2012, 17:42

Jello Biafra

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RE: Konvergenz nach Leibnitz - Widerspruch
Für n=1 ist der Summand nicht definiert.

Es geht also vermutlich um

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty \left(\frac 1{\sqrt{n}-1}-\frac 1{\sqrt{n}+1}\right)=2\sum_{n=1}^\infty \frac 1n. \end{eqnarray*}$

Wo und warum überhaupt sollte denn da das Leibnizkriterium mitspielen?

20.11.2012, 17:50

klaus1111

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RE: Konvergenz nach Leibnitz - Widerspruch

Zitat:

Original von Jello Biafra
Für n=1 ist der Summand nicht definiert.

Es geht also vermutlich um

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty \left(\frac 1{\sqrt{n}-1}-\frac 1{\sqrt{n}+1}\right)=2\sum_{n=1}^\infty \frac 1n. \end{eqnarray*}$

Wo und warum überhaupt sollte denn da das Leibnizkriterium mitspielen?

Eigentlich müssts dann sein:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty \left(\frac 1{\sqrt{n}-1}-\frac 1{\sqrt{n}+1}\right)=2\sum_{n=1}^\infty \frac {1}{n+1} \end{eqnarray*}$

Wenn ich jedes an ausrechne und es mir aufschreibe, dann werden immer positive Summanden von an abgezogen also muss die Summe doch kleiner als an sein.
Das besagt doch der Satz von Leibnitz.

20.11.2012, 17:58

Jello Biafra

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RE: Konvergenz nach Leibnitz - Widerspruch

Zitat:

Original von klaus1111
Eigentlich müssts dann sein:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty \left(\frac 1{\sqrt{n}-1}-\frac 1{\sqrt{n}+1}\right)=2\sum_{n=1}^\infty \frac {1}{n+1} \end{eqnarray*}$

Was soll denn der Unsinn?
Ich hab Dir doch vorhin die richtige Gleichung hingeschrieben!

Guck Dir bitte das Leibnizkriterium an (z.B. bei Wikipedia).

20.11.2012, 17:59

RavenOnJ

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RE: Konvergenz nach Leibnitz - Widerspruch
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n}-1}-\frac{1}{\sqrt{n}+1}=\frac {\sqrt{n}+1 -(\sqrt{n}-1)}{(\sqrt{n}-1)(\sqrt{n}+1)} = \frac{2}{n-1} \end{eqnarray*}$

20.11.2012, 18:09

klaus1111

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RE: Konvergenz nach Leibnitz - Widerspruch

Zitat:

Original von RavenOnJ
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n}-1}-\frac{1}{\sqrt{n}+1}=\frac {\sqrt{n}+1 -(\sqrt{n}-1)}{(\sqrt{n}-1)(\sqrt{n}+1)} = \frac{2}{n-1} \end{eqnarray*}$

stimmt hab mich verschrieben

20.11.2012, 18:10

klaus1111

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Zitat:

Guck Dir bitte das Leibnizkriterium an (z.B. bei Wikipedia).

Anscheinend kennst du das Leibnitzkriterium nicht.
Schreib dir doch mal die Reihenglieder alle an und schau was da passiert Freund!

Kann mir sonst irgendwer sagen wo der Haken ist?

20.11.2012, 18:15

HAL 9000

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Zitat:

Original von klaus1111
Anscheinend kennst du das Leibnitzkriterium nicht.

Kommt ziemlich arrogant rüber. Ich bin mir ziemlich sicher, dass Jello das kennt (seine Summe ist übrigens auch richtig, da seine bei n=1 beginnt, er hat da also eine Indexverschiebung vorgenommen).

Du solltest eher mal überprüfen, ob die Voraussetzungen des Leibnizkriteriums hier erfüllt sind. Das ist nämlich nicht der Fall.

20.11.2012, 18:17

klaus1111

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Zitat:

Du solltest eher mal überprüfen, ob die Voraussetzungen des Leibnizkriteriums hier erfüllt sind. Das ist nämlich nicht der Fall.

Wie begründest du das?

20.11.2012, 18:18

Jello Biafra

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Zitat:

Original von klaus1111
Anscheinend kennst du das Leibnitzkriterium nicht.
Schreib dir doch mal die Reihenglieder alle an und schau was da passiert Freund!

Ich könnte jetzt aus Pulp Fiction zitieren, wo es heißt:"Ich bin nicht Dein Freund. Penner!"

Beratungsresistenz + Impertinenz = Ich bin raus

20.11.2012, 18:22

HAL 9000

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Zitat:

Original von klaus1111
Wie begründest du das?

Nix mit Beweislastumkehr! unglücklich

Du bist es, der die Voraussetzungen des Leibnizkriteriums Punkt für Punkt überprüfen muss, bevor du es anwenden kannst.

20.11.2012, 18:31

klaus1111

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Zitat:

Ich könnte jetzt aus Pulp Fiction zitieren, wo es heißt:"Ich bin nicht Dein Freund. Penner!"

Beratungsresistenz + Impertinenz = Ich bin raus

Jetzt nimm das doch nicht zu persönlich.
Aber den Leibnitzkriterien entspricht diese Reihe trotzdem, auch wenn du keine Lust hast sie aufzustellen und zu analysieren.
Die Frage ist nur wieso.
Aber ich werd vielleicht besser meinen Mathe Professor damit quälen.

Danke trotzdem Augenzwinkern

20.11.2012, 18:37

HAL 9000

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Zitat:

Original von klaus1111
Aber den Leibnitzkriterien entspricht diese Reihe trotzdem

Nein, dem entspricht es nicht!

Zur Impertinenz will ich mich mal nicht äußern, aber das mit der Beratungsresistenz trifft offenbar voll zu. Deshalb bin ich auch raus, wenn du nicht endlich deine Anwendung von Leibniz begründest: Nötig sind alternierende Vorzeichen der Reihenglieder, und dass der Absolutbetrag dieser Reihenglieder monoton gegen Null fällt: Wenn du

$\begin{eqnarray*} \frac 1{\sqrt{n}-1} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} -\frac 1{\sqrt{n}+1} \end{eqnarray*}$

als aufeinander folgende einzelne Reihenglieder betrachtest, ist eben gerade der Punkt "Monotonie" nicht erfüllt! unglücklich

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