Für welche Beta konvergiert die Folge

20.11.2012, 18:22

Iorek

Für welche Beta konvergiert die Folge

Aloha,

ich bin eben auf eine (vermeintlich) leichte Aufgabe gestoßen, für die ich aktuell partout keinen Lösungsweg finden kann.

Für welche nichtnegativen $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ konvergiert die Folge $\begin{eqnarray*} a_n=\frac {45\beta \sqrt{n^3+n}-\sqrt {n^3}}{\sqrt{n^3+\beta^2}-\sqrt{n^3-2n}} \end{eqnarray*}$ .

Zuerst dachte ich, die $\begin{eqnarray*} 45\beta \end{eqnarray*}$ im Zähler stehen vor dem Bruch, dann hätte man schön mit der dritten binomischen Formel erweitern können. Danach hab ich es auch trotzdem mit der dritten binomischen erweitert, bekam aber verdammt blöde Ausdrücke raus. $\begin{eqnarray*} \sqrt {n^3} \end{eqnarray*}$ im Zähler und Nenner ausklammern hat das Problem auch nicht wirklich gelöst, eine Anwendung fürs Sandwichlemma oder sonstige Abschätzungen finde ich auch keine nennenswert sinnvollen. Sieht da wer anders eine Möglichkeit?

20.11.2012, 19:34

Jello Biafra

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RE: Für welche Beta konvergiert die Folge
Erweitern gemäß 3. bin Formel ist m.E. schon zielführend und lässt schließlich erkennen, dass die Folge nur für $\begin{eqnarray*} \beta=\frac 1{45} \end{eqnarray*}$ konvergieren kann.

20.11.2012, 19:47

Sly

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Darf ich fragen, in welchem Zusammenhang das aufgetreten ist? Wenn das im Rahmen einer Tutorentätigkeit war, tun mir die Studenten Leid Big Laugh

Ich hoffe, hier hat sich jetzt kein Fehler eingeschlichen...

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{45\beta\sqrt{n^3+n}-\sqrt{n^3}}{\sqrt{n^3+\beta^2}-\sqrt{n^3-2n}} \stackrel{!}{=} \sqrt{n}\cdot\frac{45\beta\sqrt{n^2+1}-n}{\beta^2+2n}\cdot\left(\sqrt{n^3+\beta^2}+\sqrt{n^3-2n}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \underbrace{\left( \sqrt{1+\frac{\beta^2}{n^3}} + \sqrt{ 1-\frac{2}{n^2}}\right)}_{=: x_n} \cdot n^2\cdot \frac{45\beta\sqrt{n^2+1}-n}{\beta^2+2n} = x_n \underbrace{\frac{n}{\beta^2+2n}}_{=: y_n} \cdot n^2\cdot(45\beta\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}-1) \end{eqnarray*}$

Nun stelle fest: $\begin{eqnarray*} x_n\to 2, y_n\to\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+\frac{1}{n^2}}\to 1 \end{eqnarray*}$ . Folglich ist schonmal $\begin{eqnarray*} 45\beta=1 \end{eqnarray*}$ notwendig, sonst ist die Folge unbeschränkt.

Andererseits gilt bei $\begin{eqnarray*} 45\beta=1 \end{eqnarray*}$ für den Restterm

$\begin{eqnarray*} n^2(\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}-1) = \sqrt{n^4+n^2}-n^2 \stackrel{!}{=} \frac{n^2}{\sqrt{n^4+n^2}+n^2} = \frac{1}{1+\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}} \to \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Entsprechend gilt für $\begin{eqnarray*} 45\beta=1 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} a_n \to\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

(Anmerkung: An den mit "!" gekennzeichneten Stellen wurde die dritte binomische Formel benutzt.)

20.11.2012, 19:55

Jello Biafra

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RE: Für welche Beta konvergiert die Folge
Ich will die Erklärung obiger Behauptung nicht schuldig bleiben.

Nach Erweitern hat man

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{\left((45\beta)^2-1\right)n^3+(45\beta)^2n}{2n+\beta}\cdot\frac{\sqrt{n^3+\beta^2}+\sqrt{n^3-2n}}{45\beta\sqrt{n^3+n}+\sqrt{n^3}}. \end{eqnarray*}$

Und daran lässt sich alles direkt ablesen.

20.11.2012, 20:26

Iorek

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Zitat:

Original von Sly
Darf ich fragen, in welchem Zusammenhang das aufgetreten ist? Wenn das im Rahmen einer Tutorentätigkeit war, tun mir die Studenten Leid Big Laugh

Es handelt sich um eine Aufgabe in einem E-Test, hat also indirekt schon etwas mit Tutorium zu tun. Ich habe die Aufgabe eben von einem Bekannten zugesteckt bekommen und habe wie gesagt keinen sinnvollen Ansatz gefunden bzw. anscheinend nicht weit genug verfolgt. Anscheinend hätte es mein erster Ansatz ja doch getan, ich hatte ähnliche hässliche Ausdrücke wie du/ihr da stehen und hab es dann verworfen um nach einer eleganteren Möglichkeit zu suchen. Danke euch. smile

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