Dichtefunktion und Zufallsvariablen

20.11.2012, 17:56

deppensido

Dichtefunktion und Zufallsvariablen

hallo,

es geht um die Aufgabe im Anhang. Gelöst habe ich bereits die Teile a, b, c und d.
Zunächst gebe ich mal meine Ergebnisse an. (Zeichnungen mal unbeachtet)

a) r = 3, c) $\begin{eqnarray*} F(X) = x^3 \end{eqnarray*}$ , für 0<=x<=1 Rest wie in f(x) definiert.
d) $\begin{eqnarray*} E(X) = 3 / 4, V(X) = 3 / 5 \end{eqnarray*}$ .

Nun häng ich an Teil e) der Aufgabe fest. Mein einziger Ansätzer bisher:
$\begin{eqnarray*} P(|X - E(X)| >= 0,25) = P((X - E(X))^2 >= 0,25^2) \end{eqnarray*}$
E(X) hab ich ja bereits ausgerechnet. Ich denk ich muss hier mit der Verteilungsfunktion aus Teil c) arbeiten, aber ich komm auf keinen Ansatz hierfür.

Die obere Schranke für Teil f) dürfte einfach: $\begin{eqnarray*} V(X) / 0,25^2 \end{eqnarray*}$ sein.
Aber ohne den Teil e) kann ich schlecht vergleichen. Ich hoffe mir kann jemand weiter helfen.

Gruß, Volker

20.11.2012, 18:36

Math1986

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RE: Dichtefunktion und Zufallsvariablen

Zitat:

Original von deppensido
a) r = 3, c) $\begin{eqnarray*} F(X) = x^3 \end{eqnarray*}$ , für 0<=x<=1 Rest wie in f(x) definiert.

Nö. Der "Rest" stimmt nicht. Eine Verteilungsfunktion ist insbesondere monoton.

Erwartungswert und Varianz stimmen.

Bei e) steht ja berechnen Sie
Also
$\begin{eqnarray*} P(|X - E(X)| \geq 0,25) = P(|X - 0,75| \geq 0,25)=P(-0,25\leq X - 0,75\leq 0,25) =P(0,5\leq X\leq 1) \end{eqnarray*}$
Das kannst du durch die Verteilungsfunktion berechnen.

Rechne in e) den Wert mal aus.

20.11.2012, 18:55

deppensido

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hallo,

erstmal danke für die schnelle Antwort. Warum stimmt die Verteilungsfunktion so nicht. Es gilt ja $\begin{eqnarray*} F'(X) = f(x) \end{eqnarray*}$ deshalb habe ich von : $\begin{eqnarray*} 3x^2 \end{eqnarray*}$ die Stammfunktion bestimmt. Oder ist es einfach $\begin{eqnarray*} F(X) = x^3 \end{eqnarray*}$ für 0 <=x <= 1, sonst 0? Bin jetzt etwas verwirrt. Für e) sollte dann rauskommen:
$\begin{eqnarray*} F(1) - F(1/2) = 1 - 1 / 8 = 7 / 8 \end{eqnarray*}$ stimmt das soweit?

Grüße

20.11.2012, 19:01

HAL 9000

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Für $\begin{eqnarray*} x> 1 \end{eqnarray*}$ ist nicht $\begin{eqnarray*} F(x)=0 \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} F(x)=1 \end{eqnarray*}$ .

Und falls du mit $\begin{eqnarray*} V(X) \end{eqnarray*}$ die Varianz meinst, dann ist der Wert $\begin{eqnarray*} \frac{3}{5} \end{eqnarray*}$ falsch: Es ist zwar $\begin{eqnarray*} E(X^2) = \frac{3}{5} \end{eqnarray*}$ , aber das ist ja noch nicht die Varianz.

@Math1986

Deine Berechnungszeile widmet sich aber eher dem Komplementärereignis

$\begin{eqnarray*} P(|X - E(X)|~{\color{red}\leq}~0{,}25) = P(|X - 0,75|~{\color{red}\leq}~ 0{,}25)=P(-0{,}25\leq X - 0{,}75\leq 0{,}25) =P(0{,}5\leq X\leq 1) \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

20.11.2012, 19:29

deppensido

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hallo,

wegen der Varianz hab ich mich verschrieben. Ich habe $\begin{eqnarray*} 3/80 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3 / 5 \end{eqnarray*}$ war nur mein Ergebnis für $\begin{eqnarray*} E(X^2) \end{eqnarray*}$ .

Lautet die Verteilungsfunktion dann: $\begin{eqnarray*} F(X) = x^3 \end{eqnarray*}$ für x<=0<=1

und $\begin{eqnarray*} F(X) = 1 \end{eqnarray*}$ für x > 1 und $\begin{eqnarray*} F(X) = 0 \end{eqnarray*}$ sonst. ?

Ist die Lösung von e) dann: $\begin{eqnarray*} 1 - F(1) - F(1 / 2) = 1 - 7 / 8 = 1 / 8 \end{eqnarray*}$ ?

Grüße

20.11.2012, 19:32

HAL 9000

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Zitat:

Original von deppensido
Ist die Lösung von e) dann: $\begin{eqnarray*} 1 - F(1) - F(1 / 2) = 1 - 7 / 8 = 1 / 8 \end{eqnarray*}$ ?

Das Ergebnis stimmt, aber bitte doch die nötigen Klammern setzen!!!

$\begin{eqnarray*} 1 - {\color{red}(}F(1) - F(1 / 2) {\color{red})}= 1 - 7 / 8 = 1 / 8 \end{eqnarray*}$

20.11.2012, 19:39

deppensido

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stimmt die Verteilungsfunktion dann auch so, wie ich zuletzt diese aufgeschrieben habe. Ansonsten, danke für eure Hilfe!

Gruß

20.11.2012, 19:42

HAL 9000

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Ja, allerdings sollte es $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq 1 \end{eqnarray*}$ statt deines $\begin{eqnarray*} x\leq 0\leq 1 \end{eqnarray*}$ heißen.

Ein wenig "gepflegtes LaTeX" wäre natürlich in der Form vorzuziehen:

$\begin{eqnarray*} F(x) = \begin{cases} 0 & \;\mbox{für}\, x<0 \\ x^3 & \;\mbox{für}\, 0\leq x\leq 1 \\ 1 & \;\mbox{für}\, x>1 \end{cases} \end{eqnarray*}$

20.11.2012, 19:54

deppensido

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dann stimmt es jetzt so. Bei Latex kenne ich leider noch sehr wenig Ausdrücke, aber es wird immer besser mit der Zeit. Nochmal Danke für Ihre Hilfe!

20.11.2012, 20:06

HAL 9000

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Das mit dem LaTeX war ja auch kein Vorwurf, sondern eine Anregung für's nächste Mal - aus Beispielen kann man schließlich etwas "mitnehmen". Augenzwinkern

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