Kongruenzrechnung

20.11.2012, 20:01	Denny0212	Auf diesen Beitrag antworten »
Kongruenzrechnung Meine Frage: Hallo zusammen, Ich stecke gerade an einer (für mich sehr kniffeligen ) Aufgabe fest, und zwar sollen wir zeigen, dass für jede Zahl $\begin{eqnarray} a\in \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} (a^2\equiv 0\ mod\ 4)\vee (a^2\equiv 1\ mod\ 4) \end{eqnarray}$ . Es kann zwar auch einfach sein, dass ich grad ein dickes brett vorm schädel habe und mir das grad viel zu komplizeirt mache, aber ich habe auch ansonsten keine Strategie, wie ich solche probleme generell angehen soll. Meine Ideen: Als Ansatz, hab ich hier einige Annahmen, mit denen man vielleicht zur lösung kommt. $\begin{eqnarray} <br /> a^2\equiv 0\ mod\ 4\\<br /> \Leftrightarrow 4\|(a^2-0)\\<br /> \Leftrightarrow \exists k\in \mathbb{Z} : a^2=4k\Rightarrow a = 2\sqrt{k}<br /> \end{eqnarray}$ Grundsätzlich sieht man hier ja schonma durch die 2, dass das Ergebnis irgendwie gerade ist, meine Idee war jetzt zu prüfen, ob die andere Menge aus ungerade Zahlen besteht, denn dann wissen wir, dass entweder das eine oder das andere zutreffen muss und somit wäre die Aussage allgemein gültig. dazu hab ich das andere auch nochmal so formuliert wie oben schon: $\begin{eqnarray} <br /> a^2\equiv 1\ mod\ 4\\<br /> \Leftrightarrow 4\|(a^2-1)\\<br /> \Leftrightarrow \exists k\in \mathbb{Z} : a^2=4k\Rightarrow a = \sqrt{4k+1}<br /> \end{eqnarray}$ Ich wäre euch ziemlich dankbar wenn ihr mich bitte in die richtigen Bahnen lenken könntet und mir vielleicht zu richtigen Schreibweise weiter verhelft.
21.11.2012, 13:04	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann doch auch einfach die zwei Fälle 1. a gerade --> a = 2n 2. a ungerade --> a = 2n + 1 unterscheiden und dort jeweils nach dem Rest des Quadrates mod 4 prüfen ... mY+

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