Ableitung - Fragen

20.11.2012, 21:04

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Ableitung - Fragen

Hallo,

Hier sind mir einige Dinge nicht ganz klar:

Bilde die Ableitungsfunktion! Vergleiche"

a.

(1) $\begin{eqnarray*} y = sin \frac{x}{2} \end{eqnarray*}$

(2) $\begin{eqnarray*} y = \frac{sinx}{2} \end{eqnarray*}$

b.

(1) $\begin{eqnarray*} y = sin \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

(2) $\begin{eqnarray*} y = \frac{1}{sinx} \end{eqnarray*}$

a.

(1) $\begin{eqnarray*} = sin \frac{x}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y' = cos \frac{x}{2} * \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Warum ist hier $\begin{eqnarray*} sin \frac{x}{2} \end{eqnarray*}$ die äußere und $\begin{eqnarray*} \frac{x}{2} \end{eqnarray*}$ die innere und nicht umgekehrt?

lg

21.11.2012, 08:19

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitung - Fragen

Zitat:

Original von Tipso
Warum ist hier $\begin{eqnarray*} sin \frac{x}{2} \end{eqnarray*}$ die äußere und $\begin{eqnarray*} \frac{x}{2} \end{eqnarray*}$ die innere und nicht umgekehrt?

Wenn du $\begin{eqnarray*} sin(\frac{x}{2}) \end{eqnarray*}$ bestimmst, mußt du erst x/2 rechnen und danach darauf den sin anwenden.
Also: was kommt zuerst und was kommt danach?

21.11.2012, 12:12

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitung - Fragen

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Tipso
Warum ist hier $\begin{eqnarray*} sin \frac{x}{2} \end{eqnarray*}$ die äußere und $\begin{eqnarray*} \frac{x}{2} \end{eqnarray*}$ die innere und nicht umgekehrt?

Wenn du $\begin{eqnarray*} sin(\frac{x}{2}) \end{eqnarray*}$ bestimmst, mußt du erst x/2 rechnen und danach darauf den sin anwenden.
Also: was kommt zuerst und was kommt danach?

Warum hat x/2 Vorrang?

$\begin{eqnarray*} y' = \frac{1}{2} *cos \frac{x}{2} \end{eqnarray*}$

Letztendlich ist es aber dann egel, in welcher Reihenfolge ich es schreibe. smile

smile

Die Frage ist natürlich was ist u und was ist v.

u = x/2

v = sinx/2

u' = 1/2

v' = cosx/2

Hier stellen sich weitere zwei Fragen:

1.
Warum ist u = x/2 und v = sinx/2

Hier wird das x - zweimal verwendet, was mich verwirrt.

2.
v' = cosx/2 und nicht cos1/2

3.

Und letzte Frage

kettenregel

äußere Ableitung - innere bleibt stehen mal Ableitung der inneren

Demnach müsste mein Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} y' = \frac{1}{2} * sin\frac{x}{2} * cos\frac{x}{2} \end{eqnarray*}$

u = x/2

u' = 1/2

dann bleibt v = sinx/2 stehen und mal v' = cosx/2

Es ist aber falsch. Hammer

Hammer

21.11.2012, 12:56

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitung - Fragen

Zitat:

Original von Tipso
Warum hat x/2 Vorrang?

Dann beantworte doch mal meine Frage, was du bei $\begin{eqnarray*} sin(\frac x 2) \end{eqnarray*}$ zuerst rechnest.

Zitat:

Original von Tipso
Letztendlich ist es aber dann egel, in welcher Reihenfolge ich es schreibe. smile

smile

Da mußt du etwas konkreter werden. Was willst du in beliebiger Reihenfolge schreiben? verwirrt

verwirrt

Zitat:

Original von Tipso
Die Frage ist natürlich was ist u und was ist v.

In der Tat.

Zitat:

Original von Tipso
u = x/2

v = sinx/2

Das kommt natürlich so nicht hin. Was du brauchst, sind Funktionen u(x) und v(x), so daß $\begin{eqnarray*} v(u(x)) = sin(\frac x 2) \end{eqnarray*}$ ist. Und da kommt bei u(x) = x/2 nur v(x) = sin(x) in Frage.

22.11.2012, 00:06

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitung - Fragen

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Tipso
Warum hat x/2 Vorrang?

Dann beantworte doch mal meine Frage, was du bei $\begin{eqnarray*} sin(\frac x 2) \end{eqnarray*}$ zuerst rechnest.

u = x/2

v = sinx/2 oder sinx

äußere = u

innere = v

1/2 * sinx * cosx/2

22.11.2012, 08:17

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitung - Fragen
Vielleicht war es etwas spät, aber ich frage mich schon, ob du überhaupt meinen vorigen Beitrag gelesen hast.

Also nochmal: es ist v(x) = sin(x) !!! Damit ist dann $\begin{eqnarray*} v(u(x)) = sin(\frac x 2) \end{eqnarray*}$ .

Und wie man dann leicht sieht, ist u(x) - na was wohl? - die innere Funktion, denn du mußt erst u(x) ausrechnen und dann auf das Ergebnis die Funktion v(x) anwenden.

So, und nun schreibst du mal die Ableitungen von u(x) und v(x) hin.

Anzeige

22.11.2012, 13:33

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Ich habe es mir schon durchgelesen, das mit dem verstehen ist dann wieder eine andere Sache.

u' = 1/2

v' = cos(x)

u(x) = x/2

v(x) = sin(x)

Was mich hier dann verwirrt ist:

v(u(x))

sin(x/2)x

Das x - gilt sowohl für sin(x) als auch für x/2. Obwohl es sowohl für das sin als auch für den Bruch x/2 gedacht ist, ich verstehe nicht warum das x nur einmal steht und nicht zweimal.

lg

22.11.2012, 14:43

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Mir scheint, du hast ein Verständnisproblem mit der Komposition (Hintereinanderausführung) von Funktionen. Aber eigentlich ist es ganz simpel:

Wenn v(x) = sin(x) ist, dann ist v(hugo) = sin(hugo) und v(u(x)) = sin(u(x)) . Da braucht man doch nur für x das entsprechende einsetzen. Und mit u(x) = x/2 ist dann v(u(x)) = sin(x/2). Wo soll denn da noch ein zusätzliches x herkommen? verwirrt

verwirrt

22.11.2012, 16:30

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von klarsoweit
Mir scheint, du hast ein Verständnisproblem mit der Komposition (Hintereinanderausführung) von Funktionen. Aber eigentlich ist es ganz simpel:

Wenn v(x) = sin(x) ist, dann ist v(hugo) = sin(hugo) und v(u(x)) = sin(u(x)) . Da braucht man doch nur für x das entsprechende einsetzen. Und mit u(x) = x/2 ist dann v(u(x)) = sin(x/2). Wo soll denn da noch ein zusätzliches x herkommen? verwirrt

verwirrt

Genau da habe ich mein Problem.

So wie du es erklärst ist es auf jeden Fall einleuchtend.

Aber v = sin(x) Da es "sin" nicht gibt. Es gibt ja nur sin(x) da dieses zusammengehört. Freude

Freude

v = sin

v(x) = sin(x)

Verstehe.

Ansonsten wäre es:

v = sin(x)

v(x) = sin(x)

so habe ich es vorher verstanden.

Freude

Freude

Dann mache ich mich an die nächsten Aufgaben ran. smile

smile

24.11.2012, 20:06

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitung - Fragen
Nächste Aufgabe:

Zitat:

Original von Tipso
(2) $\begin{eqnarray*} y = \frac{sinx}{2} \end{eqnarray*}$

lg

Mein Lösungsvorschlag:

$\begin{eqnarray*} y = \frac{sinx}{2} \end{eqnarray*}$

u = (x/2)

v = sinx

u' = (1/2)

v' = cosx

Ich glaube, dies könnte ich auch mit der Quotientenregel ableiten, das später.

a.
Ich bin hier sehr unsicher welches die innere und welches die äußere ist und warum dies so ist.

Es könnte auch:

u = sinx/2

v = sinx/2 sein.

$\begin{eqnarray*} y' = \frac{1}{2} cosx \end{eqnarray*}$

24.11.2012, 20:32

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitung - Fragen

Zitat:

Original von Tipso

$\begin{eqnarray*} y = \frac{sinx}{2} \end{eqnarray*}$

ich glaube, du hast elementare Probleme. Deine Schreibfigur ist überhaupt nicht geeignet das Problem anzugehen.

$\begin{eqnarray*} y(x)=\frac {\sin(x)}{2} \end{eqnarray*}$ ist korrekt. Gewöhn dir die Schreibweise auch an.

Jeder Term hat seine Hierarchie - und dabei meine ich nicht nur Punkt vor Strich.

an erster Stelle, nach der Klammer, kommt ein Funktionsausdruck. Hier $\begin{eqnarray*} \sin (x) \end{eqnarray*}$

danach erst Multiplikation/Division.

25.11.2012, 15:52

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitung - Fragen
Warum hat ein Funktionsausdruck Vorrang und was hat es mit der klammer (x) auf sich?

[quote]Original von Tipso
(2) $\begin{eqnarray*} y(x) = \frac{sin(x)}{2} \end{eqnarray*}$

Mein neuer Lösungsvorschlag:

$\begin{eqnarray*} y(x) = \frac{sin(x)}{2} \end{eqnarray*}$

u = sin(x)

v = (x/2)

u' = cos(x)

v' = (1/2)

Ich glaube, dies könnte ich auch mit der Quotientenregel ableiten, das später.

$\begin{eqnarray*} y' = cos(x) \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

lg

26.11.2012, 08:42

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitung - Fragen

Zitat:

Original von Tipso
Warum hat ein Funktionsausdruck Vorrang?

Das ist doch nur einfaches Auslesen von dem, was da steht:

$\begin{eqnarray*} sin(\frac x 2) \end{eqnarray*}$ übersetzen: als erstes treffe ich auf den sin --> aha, ich muß einen sinus-Wert bestimmen, ok, sinus von was? --> das steht hinter dem sin in Klammern (deswegen sollte man auch das Argument des sinus in Klammern schreiben), da steht x/2, --> das ist ein Ausdruck, den muß ich als erstes berechnen, bevor ich den sinus drauf loslasse.

$\begin{eqnarray*} \frac{sin(x)}{2} \end{eqnarray*}$ übersetzen: als erstes treffe ich auf einen Bruch --> aha, ich muß eine Division machen, dann schaue ich mal in den Zähler,
dort steht sin(x) --> ok, außer der Berechnung von sin(x) brauche ich da nichts weiter machen, anschließend das ganze durch den Nenner (=2) dividieren.

Zitat:

Original von Tipso
was hat es mit der klammer (x) auf sich?

Das in Klammern gesetzte x ist das Argument einer Funktion. y(x) drück zum Beispiel aus, das jedem x ein Funktionswert y(x) zugeordnet wird. Analog sagt sin(x), daß das der Funktionswert der Sinus-Funktion ist.

Zitat:

Original von Tipso
Ich glaube, dies könnte ich auch mit der Quotientenregel ableiten, das später.

Na ja, eher kommt die Faktorregel in Frage: Ist g(x) = a * f(x) mit konstantem a, so gilt: g'(x) = a * f'(x) .

26.11.2012, 16:09

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitung - Fragen
Hi,

Thx für deine sehr ausführliche Erklärung. Sehr sehr gut.

Zitat:

Original von klarsoweit

$\begin{eqnarray*} \frac{sin(x)}{2} \end{eqnarray*}$ übersetzen: als erstes treffe ich auf einen Bruch --> aha, ich muß eine Division machen, dann schaue ich mal in den Zähler,
dort steht sin(x) --> ok, außer der Berechnung von sin(x) brauche ich da nichts weiter machen, anschließend das ganze durch den Nenner (=2) dividieren.

Der einzige Teil der mir nicht ganz klar ist.

Warum berücksichtige ich den Bruch bei der Berechnung sin(x) nicht, warum brauche ich den nicht zu berücksichtigen?

lg

27.11.2012, 08:22

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitung - Fragen
Also nochmal - das ist bei einem Bruch zu tun:
1. Zähler ausrechnen
2. Nenner ausrechnen
3. danach (aber wirklich erst danach) Division Zähler durch Nenner ausführen.

Anders gefragt: wie wolltest du das anders rechnen?

Konkret: wie berechnest du y(1) für $\begin{eqnarray*} y(x) = \frac{x^3 + x^2 + x + 1}{2} \end{eqnarray*}$ ?

27.11.2012, 16:56

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

4/2 = 2

Jedoch ist es für mich bei der Ableitung anders.
Da habe ich den Zähler und den Nenner aber ich dachte ich nehme immer die Rechnung als ganzes und nicht die einzelnen Teile.

Weshalb es mich dann verwirrt wenn ich nur den Zähler, in meinem Beispiel sin(x) nehme ohne den Nenner.

lg

28.11.2012, 09:33

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Was verstehst du unter "ich nehme immer die Rechnung als ganzes und nicht die einzelnen Teile"? Eine Rechnung oder ein Ausdruck wie $\begin{eqnarray*} \frac{sin(x)}{2} \end{eqnarray*}$ ist doch wie ein Koch- oder Backrezept.

Wenn da steht "man nehme ein halb Pfund Butter", was macht man da? Man geht an den Kühlschrank, holt ein ganzes Pfund Butter raus (wurde zum Glück gestern eingekauft Augenzwinkern

Augenzwinkern

), geht zur Schublade und nimmt ein Messer raus und dann teilt man die Butter geradewegs in der Mitte durch. Nichts anderes wird mit der Bruchvorschrift ausgedrückt.

28.11.2012, 14:45

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich arbeite an meinen Fundamenten, danke für deine Erklärung mit Analogien, welche mir sehr geholfen haben und helfen die Sachlage nachvollziehen zu können. Freude

Freude

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »