terminales Ereignis

20.11.2012, 22:26

maxerl

terminales Ereignis

Ich soll zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \{ S_n/n \hspace{0.2cm}konvergiert\} \end{eqnarray*}$ ein terminales Ereignis ist. Hier ist schon $\begin{eqnarray*} \{ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i < \infty \} \end{eqnarray*}$ gemeint, wenn $\begin{eqnarray*} S_n=X_1 + \dots X_n \end{eqnarray*}$ ist???
$\begin{eqnarray*} S_n/n \end{eqnarray*}$ kann ja nicht endlich sein, sonst würde es sich nicht um ein terminales Ereignis handeln. Weil sonst das Eintretten oder Nicht-Eintretten von der Veränderung endlich vieler Xi beeinflusst wird, was im Widerspruch zu einem terminalen Ereignis steht. Stimmt meine Ausgangslage? Wie soll ich vorgehen?

21.11.2012, 14:44

maxerl

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Was versteht ihr unter $\begin{eqnarray*} \{ S_n/n \hspace{0.2cm}konvergiert\} \end{eqnarray*}$ ?

21.11.2012, 15:07

HAL 9000

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Du solltest dir klarmachen, dass für jedes feste $\begin{eqnarray*} k\geq 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{S_n}{n} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \;\mbox{konvergiert für}\;n\to\infty \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{1}{n}\sum_{i=k}^n X_i \;\mbox{konvergiert für}\;n\to\infty \end{eqnarray*}$

gilt, was dann auch schon der Kern des Beweises ist.

21.11.2012, 15:21

maxerl

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$\begin{eqnarray*} \{ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i < \infty \} = \{ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k}X_i < \infty \} \cap \{ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{i=k+1}^{n}X_i < \infty \}= \Omega \cap \{ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{i=k+1}^{n}X_i < \infty \} = \{ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{i=k+1}^{n}X_i < \infty \} \end{eqnarray*}$ Ist das so in Ordnung?

21.11.2012, 15:39

HAL 9000

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Ja, sofern dein " $\begin{eqnarray*} <\infty \end{eqnarray*}$ " die generelle Symbolisierung für Konvergenz darstellt - schließlich gibt es auch noch andere Formen der Divergenz als nur die bestimmte gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

21.11.2012, 15:45

maxerl

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Sollte ich demnach besser mein $\begin{eqnarray*} < \infty \end{eqnarray*}$ durch den Begriff "konvergiert" ersetzen in den Ereignissen, damit das sauber gelöst ist?

21.11.2012, 15:49

HAL 9000

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Zitat:

Original von maxerl
Sollte ich demnach besser mein $\begin{eqnarray*} < \infty \end{eqnarray*}$ durch den Begriff "konvergiert" ersetzen in den Ereignissen, damit das sauber gelöst ist?

M.E. ja, aber das musst du selbst entscheiden. Ist am Ende auch nur eine technische Frage, keine inhaltliche. Augenzwinkern

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