Menge aller Punkte in einem bestimmten Abstand zu einer Geraden bestimmen

20.11.2012, 22:57

luka92

Menge aller Punkte in einem bestimmten Abstand zu einer Geraden bestimmen

Hallo,

ich war krank und habe die letzten beiden Vorlesungen verpasst. Nun war mein Partner auch Krank und ich muss diese Woche das Übungsblatt abgeben unglücklich

. Ich komme aber eigentlich mit keiner einzigen Aufgabe klar. Mein Hauptproblem ist aber folgende Aufgabe:

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Ich bin für jede Hilfe dankbar.

Luka

21.11.2012, 12:40

mYthos

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Zur Berechnung gibt es mehrere Möglichkeiten. Hast du irgendeine Idee, wie dies gehen könnte? Wie sieht den der Sachverhalt geometrisch aus?

Mit der HNF (Hesse'sche Normalform) geht's recht schnell, aber alternativ eben auch mittels des geometrischen Zusammenhangs. Wo alle Punkte der gesuchten Geraden liegen, wird dir wohl klar sein, oder?

Wie funktioniert der Weg von der Koordinatenform (hier gegeben) zur Parameterform?

Also, wenn du etwas eigene Initiative entwickelst und hier ein wenig mitarbeitest, helfen wir dir gerne bei der Bewältigung dieser Aufgabe.

mY+

21.11.2012, 22:50

luka92

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Hallo mYthos,

danke für deine Antwort. Ich habe heute mal im Internet gegoogelt, und bin auf diese englische Seite gestoßen. Dort wird beschrieben, wie man den Abstand zweier Geraden mit der selben Steigung ermitteln kann. Durch rechnen bin ich auf folgendes Ergebnis gekommen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{10} = \frac{\left | c_1-c_2 \right |}{\sqrt{1+m^2}} = \frac{\left | 4-c_2 \right |}{\sqrt{1+(-3)^2}} \Rightarrow \left |c-4 \right |=2\cdot \sqrt{10} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ wäre also:

$\begin{eqnarray*} c=4-2\,\sqrt{10} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} c=2\,\sqrt{10}+4 \end{eqnarray*}$

Die beiden Geradengleichungen wären somit:

$\begin{eqnarray*} y_1 = -3x+4-2\,\sqrt{10}, y_2 = -3x+2\,\sqrt{10}+4 \end{eqnarray*}$

Stimmt das? Falls ja, wie gebe ich diese Lösungen als Lösungsmenge an.

Danke
Luka

21.11.2012, 23:11

riwe

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das ist ziemlich falsch, mit dem gegebenen abstand d

$\begin{eqnarray*} \frac{3x+y-4}{\sqrt{3^2+1^2}}=\pm d \end{eqnarray*}$

und da kommt etwas ganz anderes heraus unglücklich

21.11.2012, 23:23

luka92

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Hallo riwe,

was genau ist denn daran falsch? Ist es die Formel auf der Seite oder meine Rechnung?

Danke
Luka

21.11.2012, 23:45

riwe

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Zitat:

Original von luka92
Hallo riwe,

was genau ist denn daran falsch? Ist es die Formel auf der Seite oder meine Rechnung?

Danke
Luka

ich blicke bei deinen formeln nicht durch.
auf jeden fall ist das ergebnis falsch.

setze doch bei "meiner" formel der HNF einmal $\begin{eqnarray*} d =\sqrt{10} \end{eqnarray*}$ ein.
dann fehlt doch noch die umwandlung in eine parameterform und
zumindest eine begründung oder ein nachweis, dass beide mengen disjunkt sind.

22.11.2012, 11:16

mYthos

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Der Fehler (in der an sich richtigen Formel) ist hier:

Zitat:

Original von luka92
...
$\begin{eqnarray*} \sqrt{10} = \frac{\left | c_1-c_2 \right |}{\sqrt{1+m^2}} = \frac{\left | 4-c_2 \right |}{\sqrt{1+(-3)^2}} \Rightarrow \left |c-4 \right |=2\cdot \sqrt{10} \end{eqnarray*}$

...

Du hattest ja mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{10} \end{eqnarray*}$ zu multiplizieren und $\begin{eqnarray*} \sqrt{10} \cdot \sqrt{10} \end{eqnarray*}$ ist NICHT $\begin{eqnarray*} 2 \cdot \sqrt{10} \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} 10 \end{eqnarray*}$ (!)

Wenn du dann die richtigen Geradengleichungen vorliegen hast, sehen wir weiter.

mY+

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