Funktionen zum Wachstum

21.11.2012, 07:09

Ahlcaussie

Funktionen zum Wachstum

Ich habe mal eine Frage zum Wachstum von Wasserhyazinthen.

Wichtige Informationen:
Beispiel 1: alle 15-20 Tage doppelt so viel bedeckte Fläche (expon.)
Beispiel 2: jeden Tag 40 Tonnen dazu (linear)

a) Untersuchen sie das Wachstumsverhalten der Wasserhyazinthen nach den beiden genannten Modellen. Nehmen sie zu einem Zeitpunkt t=0 einen Anfangsbestand von 100m² bzw. kg an.

Beispiel 1:

$\begin{eqnarray*} A= K_{0} \cdot (1+\frac{p}{100}) x^{n} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} A=100\cdot (1+\frac{200}{100} )^1 \end{eqnarray*}$ oder kommt hier n=17,5 als Mittelwert aus 15-20 Tage?

Beispiel 2:
$\begin{eqnarray*} A =K0 + n\cdot d = 100 + 1 \cdot 40 \end{eqnarray*}$ Tonnen

Wäre das soweit erstmal richtig?

b) Ermitteln sie die Änderungsraten pro Jahr, pro Monat, und pro Tag für beide Schätzungen. Versuchen sie, die momentanen Wachstumsgeschwindigkeitn zu ermitteln. Vergleichen sie auch damit die beiden Modellannahmen.

$\begin{eqnarray*} \frac{y1-y0}{x1-x0} \end{eqnarray*}$ ist das richtig als Änderungsrate?

c) Untersuchen sie allgemeiner die Zusammenhänge zwischen den Graphen von Exponentialfunktionen und denen ihrer 1. Ableitungen.

21.11.2012, 12:20

mYthos

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1.
Nicht richtig ist 1 + 200/100, denn danach hätte sich der Bestand verdreifacht. Es sind aber nur 100% dazugekommen. Die Zeit, in der das geschieht, sind z.B. 17,5 Tage (der Mittelwert ist realistisch)
Das prozentuelle Wachsum pro Tag geht daher NICHT mit 200% einher, du musst also p erst aus

$\begin{eqnarray*} 200 = 100 \cdot (1 + \frac p {100})^{17.5} \end{eqnarray*}$

ermitteln. Setze dazu

$\begin{eqnarray*} r = (1 + \frac p {100}) \end{eqnarray*}$

2.

Zitat:

Original von Ahlcaussie
...
Beispiel 2:
$\begin{eqnarray*} A =K_0 + n\cdot d = 100 + 1 \cdot 40 \end{eqnarray*}$ Tonnen

Wäre das soweit erstmal richtig?
...

Auch nicht. Rechts fehlt das n. Und schreibe anstatt A besser A(n), auch in (1).

$\begin{eqnarray*} A(n) =K0 + n\cdot d = 100 + \color{red} n \color{black} \cdot 40 \end{eqnarray*}$ Tonnen

Die von dir geschriebene Änderungsrate stimmt, sie ist allerdings nicht die momentane, sondern mittlere Änderungsrate. Bei einer linearen Funktion ist sie tatsächlich auch gleich der momentanen Änderung. Warum?

mY+

21.11.2012, 18:22

Ahlcaussie

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$\begin{eqnarray*} 200 = 100 \cdot (1 + \frac p {100})^{17.5} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p= 4,04 \end{eqnarray*}$

Somit ergibt sich als Formel für 1:

$\begin{eqnarray*} 200= 100\cdot (1+ \frac{4,04}{100}) ^{17.5} \end{eqnarray*}$

Und als Formel für 2:

$\begin{eqnarray*} A(n) =K0 + n\cdot d = 100 + \color{red} 17.5 \color{black} \cdot 40 \end{eqnarray*}$ Tonnen

Kannst du mir vielleicht noch helfen welche Formel für die Änderungsrate ich nutzen sollte?

Schreibt man diese mit dem Limes? Aber wie dann? von 0 bis 365; 31 oder 1?

22.11.2012, 11:36

mYthos

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p stimmt nun.
Die Funktionsgleichungen sind jedoch allgemein (für beliebige n und auch beliebige Anfangsmengen) zu schreiben, also NICHT für ein bestimmtes n oder bestimmte Mengen.
Also:

$\begin{eqnarray*} p= 4,04 \ \to \ 1 + \frac p {100} = 1.0404 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A(n) = A(0) \cdot 1.0404^n \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} K(n) = K_0 + n\cdot d = 100 + 40 \cdot \color{red}n \color{black} \ ; \ \ K_0 = K(0) \end{eqnarray*}$

Denn darin kannst du nun die jeweiligen Bestände in beliebigen Zeitpunkten feststellen und auch miteinander vergleichen.

Nun gehe zunächst von den bereits beschriebenen mittleren Änderungsraten aus. Beantworte die Frage, weshalb diese bei der linearen Funktion auch der momentanen Änderungsrate entspricht.

Von der mittleren zur momentanen Änderungsrate (vom Differenzenquotient zum Differentialquotient) zu einem bestimmten Zeitpunkt gelangt man, wenn man die beiden Zeitpunkte vom Anfang zum Ende des betrachteten Intervalls beliebig nahe zusammenrücken lässt. Daher ist tatsächlich ein Grenzwert für x1 --> x0 (oder $\begin{eqnarray*} \Delta x \to 0 \end{eqnarray*}$ ) zu ermitteln.

mY+

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