Grenzwert gegen Null

21.11.2012, 07:14	Staubfrei	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert gegen Null Ich soll folgenden Grenzwert berechnen: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \frac {x \ln(1 + x^3)}{\cos(x) - \sqrt {1 - x^2}} \end{eqnarray}$ Ich habe versucht, zweimal die Regel von Regel von L’Hospital anzuwenden und komme dabei auf: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \frac {\frac {12x^2 + 3x^5}{(1 + x^3)^2}}{- \cos(x) - \frac {1}{(1+x^2) \sqrt {1 + x^2}}} \end{eqnarray}$ Wahrscheinlich ist das schon falsch, aber ich habe keine Ahnung, wie ich hier weiterkomme.
21.11.2012, 08:29	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert gegen Null Es wäre sehr hilfreich, wenn du mal erläuterst, wie du jeweils die Ableitungen berechnet hast.
21.11.2012, 09:20	Jello Biafra	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert gegen Null Anstelle von L'Hospital könnte man hier zunächst mal, mit dem Wissen um $\begin{eqnarray} \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x^3)}{x^3}=1~(1) \end{eqnarray}$ im Hinterkopf, etwas umformen. Über die Reihenentwicklung des Sinus zeigt man, dass $\begin{eqnarray} \frac{x^3}{x-\sin(x)}=6~(2). \end{eqnarray}$ Zusammen mit dem bekannten Resultat $\begin{eqnarray} \frac x{x+\sin(x)}=\frac 12 \end{eqnarray}$ folgt daraus dann schließlich: $\begin{eqnarray} \lim_{x\to 0}\frac{x^4}{\cos(x)-\sqrt{1-x^2}}=6. \end{eqnarray}$ Und mit $\begin{eqnarray} (1) \end{eqnarray}$ wars das dann.
21.11.2012, 09:53	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
So richtig das ist, so ist es für Staubfrei aber sicherlich schwer erkennbar, wieso gerade diese Bausteine so zusammenpassen. Deshalb wäre als Erläuterung sicherlich noch angebracht, dass das ganze auf $\begin{eqnarray} \frac{x\ln(1+x^3)}{\cos(x)-\sqrt{1-x^2}} = \frac{\ln(1+x^3)}{x^3} \cdot \frac{x^4}{\cos(x)-\sqrt{1-x^2}} \end{eqnarray}$ sowie dann noch $\begin{eqnarray} \frac{x^4}{\cos(x)-\sqrt{1-x^2}} = \frac{x^4(\cos(x)+\sqrt{1-x^2})}{\cos^2(x)-(1-x^2)} = (\cos(x)+\sqrt{1-x^2})\cdot \frac{x^4}{x^2-\sin^2(x)} \end{eqnarray}$ und schließllich $\begin{eqnarray} \frac{x^4}{x^2-\sin^2(x)} = \frac{x}{x+\sin(x)}\cdot \frac{x^3}{x-\sin(x)} \end{eqnarray}$ basiert. Diese geschickte Zerlegung ist ja der eigentliche Kern der Aufgabe, die Berechnung der Grenzwerte der einzelnen Faktoren tritt demgegenüber ja fast in den Hintergrund.
21.11.2012, 12:12	Staubfrei	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen vielen Dank für die ausgezeichnete Hilfe! Die Aufgabe ist wirklich nicht so ohne, auf diese Zerlegung wäre ich nicht gekommen.

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