Grenzwert mithilfe der Potenzreihe bestimmen

21.11.2012, 12:50

FaustX

Grenzwert mithilfe der Potenzreihe bestimmen

Hallo,

ich rätsle jetzt schon eine weile wie ich den Grenzwert von:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{sin(x^{5})-x^{5}}{x^{7}(1-cos(x^{4}))} \end{eqnarray*}$
bestimmen kann. (Falls es hilft: Informatik - Analysis II)

Mein Ansatz war hierbei:
$\begin{eqnarray*} sin(x^{5})=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k} (x^{5})^{1+2k}}{(1+2k)!} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} cos(x^{4})=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k} (x^{4})^{2k}}{(2k)!} \end{eqnarray*}$

Jetzt kann ich das ganze Einsetzen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k} (x^{5})^{1+2k}}{(1+2k)!} -x^{5}}{x^{7}(1-\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k} (x^{4})^{2k}}{(2k)!} )} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k} (x^{5})^{1+2k}}{(1+2k)!} -x^{5}}{x^{7}(1-\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k} (x^{4})^{2k}}{(2k)!} )} = \lim_{x \to 0} \frac{\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k} (x^{5})^{1+2k}}{(1+2k)!} -x^{5}}{x^{7}-x^{7}\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k} (x^{4})^{2k}}{(2k)!} )}=\frac{(1 x^{5}+(-1) \frac{x^{15}}{3!}+...-... )}{x^{7}-x^{7}(x^{4}-\frac{x^{8}}{2!}+...-...)} <br /> \end{eqnarray*}$

Leider hilft mir mein Ansatz nicht wirklich, da ich ab dem zeitpunkt nicht weiß wie ich vorgehe bzw. ob die letzte Umformung überhaupt sinn macht. Da ich ja die größten Elemente der Summe betrachten möchte.

Ich würde mich daher sehr freuen wenn jemand Rat wüsste smile

21.11.2012, 13:11

klarsoweit

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RE: Grenzwert mithilfe der Potenzreihe bestimmen

Zitat:

Original von FaustX
$\begin{eqnarray*} = \lim_{x \to 0} \frac{\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k} (x^{5})^{1+2k}}{(1+2k)!} -x^{5}}{x^{7}-x^{7}\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k} (x^{4})^{2k}}{(2k)!} )}=\frac{(1 x^{5}+(-1) \frac{x^{15}}{3!}+...-... )}{x^{7}-x^{7}(x^{4}-\frac{x^{8}}{2!}+...-...)} \end{eqnarray*}$

An dieser Stelle ist beim rechten Term einiges schief gegangen:

1. wo ist der Limes geblieben?
2. wo ist das "- x^5" im Zähler geblieben?
3. wie sehen im Nenner die Summanden für k=0,1,2 von $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k} (x^{4})^{2k}}{(2k)!} \end{eqnarray*}$ aus?

21.11.2012, 13:19

Jello Biafra

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RE: Grenzwert mithilfe der Potenzreihe bestimmen
Betrachte:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sin(x^5)-x^5}{x^7(1-\cos(x^4))}=\frac 1{x^{10}}\left(\frac{\sin(x^5)}{x^5}-1\right)\cdot\frac{x^8}{1-\cos(x^4)}. \end{eqnarray*}$

Beide Faktoren lassen sich nun bequem per Reihenentwicklung einer Grenzwertbetrachtung unterziehen.
Beim zweiten Faktor würde ich übrigens den Kehrwert betrachten.

21.11.2012, 14:14

FaustX

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RE: Grenzwert mithilfe der Potenzreihe bestimmen
Vielden dank für beide Antworten, auf die Umformung wäre ich wohl so nicht gekommen, daher bleibe ich noch bei meinem Ansatz:

Es stimmt, auf der rechten Seite habe ich leider einiges vergessen im Kampf mit dem Editor:
$\begin{eqnarray*} = \lim_{x \to 0} \frac{(x^{5}- \frac{x^{15}}{3!}+\frac{x^{25}}{5!}-\frac{x^{35}}{7!}+... )-x^5}{x^{7}-x^{7}(x^{4}-\frac{x^{8}}{2!}+\frac{x^{16}}{4!}-\frac{x^{24}}{6!}+..)} = \lim_{x \to 0} \frac{( -\frac{x^{15}}{3!}+\frac{x^{25}}{5!}-\frac{x^{35}}{7!}+... )}{x^{7}-x^{7}(x^{4}-\frac{x^{8}}{2!}+\frac{x^{16}}{4!}-\frac{x^{24}}{6!}+...)} \end{eqnarray*}$

21.11.2012, 14:17

klarsoweit

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RE: Grenzwert mithilfe der Potenzreihe bestimmen
Diese Frage:

Zitat:

Original von klarsoweit
3. wie sehen im Nenner die Summanden für k=0,1,2 von $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k} (x^{4})^{2k}}{(2k)!} \end{eqnarray*}$ aus?

hast du leider nicht beantwortet.

21.11.2012, 14:23

FaustX

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für k=0 ergibt sich $\begin{eqnarray*} x^{4} \end{eqnarray*}$

für k=1: $\begin{eqnarray*} -\frac{x^{8}}{2!} \end{eqnarray*}$

für k=2: $\begin{eqnarray*} \frac{x^{16}}{4!} \end{eqnarray*}$

für k=3: $\begin{eqnarray*} -\frac{x^{24}}{6!} \end{eqnarray*}$

wie in der Gleichung eingesetzt oder verwechsel ich gerade etwas?

21.11.2012, 14:34

klarsoweit

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Zitat:

Original von FaustX
für k=0 ergibt sich $\begin{eqnarray*} x^{4} \end{eqnarray*}$

Falsch.

21.11.2012, 15:31

FaustX

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RE: Grenzwert mithilfe der Potenzreihe bestimmen
argh, für k=0 ergibt sich 1, vielen dank für den Hinweis, damit verinfacht sich der Term:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{(x^5 -\frac{x^{15}}{3!}+\frac{x^{25}}{5!}-\frac{x^{35}}{7!}+... )-x^5}{x^{7}(1-(1-\frac{x^{8}}{2!}+\frac{x^{16}}{4!}-\frac{x^{24}}{6!}+...))} \end{eqnarray*}$
zu diesem:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{(-\frac{x^{15}}{6}+\frac{x^{25}}{120}-\frac{x^{35}}{5040}+... )}{x^{7}(\frac{x^{8}}{2}-\frac{x^{16}}{24}+\frac{x^{24}}{720}-...)} \end{eqnarray*}$

Könnte ich jetzt den Zähler und Nenner Faktorisieren also:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{x^{15}(-x^{20}+42x^{10}-840}{5040\frac{(x^{15}(7(x^{16}-30x^8+360)}{5040} } \end{eqnarray*}$

nur müsste ich dann um kürzen zu können annehmen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{x^{15}}{5040}\neq 0 \end{eqnarray*}$

Oder gibt es einen einfacheren weg?

21.11.2012, 15:38

klarsoweit

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RE: Grenzwert mithilfe der Potenzreihe bestimmen
Der letzte Term ist mir jetzt zu kompliziert. Ich würde einfach bei

Zitat:

Original von FaustX
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{(-\frac{x^{15}}{6}+\frac{x^{25}}{120}-\frac{x^{35}}{5040}+... )}{x^{7}(\frac{x^{8}}{2}-\frac{x^{16}}{24}+\frac{x^{24}}{720}-...)} \end{eqnarray*}$

im Zähler ein x^15 und in der Klammer im Nenner ein x^8 ausklammern und dann das x^15 kürzen.

21.11.2012, 16:47

FaustX

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Ich danke dir für deine Hilfe und Geduld, der Grenzwert der Reihe ist dann $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ . Das passt dann auch zu meiner gegebenen Lösung Freude

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