Finde lim sup, lim inf, sup, inf einer Folge

21.11.2012, 13:40	DarthVader	Auf diesen Beitrag antworten »
Finde lim sup, lim inf, sup, inf einer Folge Hallo zusammen, bei folgender Aufgabe hänge ich mich grad auf: Finden Sie $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \sup x_n \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \inf x_n \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} sup_{n \in \mathbb N} x_n \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} inf_{n \in \mathbb N} x_n \end{eqnarray}$ Mit $\begin{eqnarray} x_n=\frac{(-1)^n}{n}+\frac{1+(-1)^n}{2} \end{eqnarray}$ Ich habe nun die Folge in zwei Teilfolgen aufgespaltet: $\begin{eqnarray} x_{2n}=\frac{1}{2n}+\frac{1+1}{2}=\frac{1}{2n}+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{2n+1}=\frac{-1}{2n+1}+\frac{1+(-1)}{2}=\frac{-1}{2n+1} \end{eqnarray}$ Jetzt habe ich versucht das Supremum und Infimum zu bestimmen: $\begin{eqnarray} \sup x_n=\frac{3}{2} \end{eqnarray}$ , denn $\begin{eqnarray} \frac{1}{2n}+1<\frac{3}{2} \Rightarrow n>1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \inf x_n=\frac{-1}{3} \end{eqnarray}$ , denn $\begin{eqnarray} \frac{-1}{2n+1}>\frac{-1}{3} \Rightarrow n>1 \end{eqnarray}$ Bei lim sup und lim inf komme ich jetzt nicht so recht weiter und ich weiß auch nicht ob meine vorangegangenen Überlegungen so richtig sind? Vielen Dank für eure Hilfe.
21.11.2012, 14:01	Lemmy	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich denke du hast das Supremum und das Infimum richtig bestimmt. Limes superior und limes inferior müssten sich - wenn ich mich richtig erinnere - als Grenzwerte der angegebenen Teilfolgen ergeben.
21.11.2012, 14:12	DarthVader	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja gut. Also lim sup (x_n)=1 lim inf (x_n)=0 Was mir jetzt ein wenig komisch aufstößt, ist, dass lim inf (x_n) größer ist also inf (x_n) kann das denn so sein?
21.11.2012, 14:41	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
klar kann das sein: inf betrachtest du über die gesamte Folge. Bei lim inf gehst du nur über Teilfolgen und bildest das Infimum, wobei das Minimum der Indexmenge der Teilfolge im Limes gegen unendlich geht. Also muss lim inf immer größer oder gleich inf sein. Wenn die Folge z.B. ein Minimum im ersten Glied hat und alle anderen Folgenglieder größer sind, vielleicht sogar monoton wachsen, dann ist $\begin{eqnarray} \mathop{\mathrm{lim\,inf}}\limits_{n\to\infty}a_n > inf (a_n) = a_1 \end{eqnarray}$ .
21.11.2012, 14:48	DarthVader	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh ja klar, habs verstanden. Vielen Dank an Lemmy und RavenOnJ für Eure tolle Hilfe

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