Gesucht lim sup, lim inf, sup, inf einer weiteren Folge

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21.11.2012, 15:38	DarthVader	Auf diesen Beitrag antworten »
Gesucht lim sup, lim inf, sup, inf einer weiteren Folge Halli Hallo, Ich soll bei einer weiteren Folge das betreffende (Titel) finden. Ich bin genauso vorgegangen, wie in der vorherigen Aufgabe. Ich würde mich freuen, wenn sich einer meine Ergebnisse zu Gemüte führt, da ich nicht weiß, ob ich richtig vorgegangen bin. Finde $\begin{eqnarray} \lim \sup s_n, \lim \inf s_n, \sup s_n, \inf s_n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} s_n=\frac{n^2 \cdot \sin(\frac{\pi \cdot n}{2})+1}{n+1} \end{eqnarray}$ Ich bin bei dieser Folge jetzt auf drei Teilfolgen gekommen: $\begin{eqnarray} \frac{1}{n+1} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \sin(\frac{\pi \cdot n}{2})=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{n^2+1}{n+1} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \sin(\frac{\pi \cdot n}{2})=1 \end{eqnarray}$ Anmerkung: Diese Teilfolgen sind stets positiv. $\begin{eqnarray} \frac{n^2 \cdot (-1)+1}{n+1} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \sin(\frac{\pi \cdot n}{2})=-1 \end{eqnarray}$ Anmerkung: Diese Teilfolge ist stets negativ. Nun habe ich für inf und sup folgendes raus: $\begin{eqnarray} inf(s_n)=0 \end{eqnarray}$ , denn $\begin{eqnarray} \frac{1-n^2}{n+1}>0 \Rightarrow n<1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} sup(s_n)=1 \end{eqnarray}$ , denn $\begin{eqnarray} \frac{n^2+1}{n+1}<1 \Rightarrow n<1 \end{eqnarray}$ Für die entsprechenden Grenzwerte habe ich dann: $\begin{eqnarray} \lim \inf (s_n)=-\infty \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim \sup (s_n)=\infty \end{eqnarray}$
22.11.2012, 10:14	DarthVader	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich wollte noch einen Nachtrag geben bezüglich der betrachteten Folge. Ich weiß hier nicht genau, wie ich meine Indexmenge bei den Teilfolgen angeben soll. Aus diesem Grund, denke ich, dass meine Berechnungen nicht korrekt sind. Die Folge $\begin{eqnarray} s_n \end{eqnarray}$ ist positiv für n={1,2,4,5,6,8,9,10,12,13,14,...} Die Folge ist negativ für n={3,7,11,15,...} Vielleicht hilft das ja weiter?
22.11.2012, 12:05	Lemmy	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, hilft es weiter wenn du das betrachtest : $\begin{eqnarray} \lim_{k \to \infty } s_{2k} = 0 , \lim_{k \to \infty } s_{2k+1} = \infty , \lim_{k \to \infty }s_{2k+3} = -\infty , k\in \mathbb N \end{eqnarray}$ ? Limes superior und limes inferior kann man dann ja erkennen.
22.11.2012, 12:25	DarthVader	Auf diesen Beitrag antworten »
mmmhhh nicht so ganz. Ich scheitere ja schon daran die richtigen Teilfolgen zu finden, denn ich denke, dass die angegebenen Teilfolgen nicht korrekt sind. Mir würde es eher helfen zu wissen, wie ich meine Indexmenge aufstelle, so dass ich eine Teilfolge mit allen positiven Gliedern erhalte und eine mit allen negativen Gliedern.
22.11.2012, 12:43	Lemmy	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube,dass alle Zahlen,die sich als 2k bzw. 2k+1 darstellen lassen,eine "Indexmenge" für die positive Teilfolge bilden. Und das alle Zahlen,die sich als 2k+3 darstellen lassen,eine "Indexmenge" für die negative Teilfolge darstellen.
22.11.2012, 12:56	DarthVader	Auf diesen Beitrag antworten »
nein. denn so trifft 2k+1 sowohl die positive als auch die negative teilfolge: 21+1=3 -> negativ 22+1=5 -> positiv usw. bei 2k+3 tritt ein ähnliches problem auf. damit kann die indexmenge also nicht stimmen, da sie unterschiedliche teilfogen trifft...oder habe ich da jetzt einen denkfehler?
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22.11.2012, 13:11	Lemmy	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich versuche es mal so: Wir betrachten $\begin{eqnarray} s_{3} \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} 3=2\cdot1+1 \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} s_{3} \end{eqnarray}$ ist also von der angegebenen Art und liefert $\begin{eqnarray} \frac{10}{4} \end{eqnarray}$ ,ein positives Folgenglied. Weißt du was ich meine ?
22.11.2012, 13:36	DarthVader	Auf diesen Beitrag antworten »
also ist zunächst die Teilfolge: $\begin{eqnarray} s_{2k+1}=\frac{(2k+1)^{2} \cdot \sin(\frac{\pi \cdot (2k+1)}{2})+1}{(2k+1)+1} \end{eqnarray}$ Für k=1 ist dann $\begin{eqnarray} s_{2 \cdot 1+1}=s_3=\frac{3^{2} \cdot \sin(\frac{\pi \cdot 3}{2})+1}{4}=\frac{9 \cdot (-1)+1}{4}=\frac{-8}{4}=-2 \end{eqnarray}$ Also negativ...und nicht 10/4 wie bei dir denn sin((3/2)*pi)=-1 und nicht 1...
22.11.2012, 13:57	Jello Biafra	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrachte die Teilfolgen für die Indizes: $\begin{eqnarray} 4n-1,~4n-3,\text{ und }2n. \end{eqnarray}$
22.11.2012, 14:26	DarthVader	Auf diesen Beitrag antworten »
So das habe ich jetzt gemacht und folgendes festgestellt: für die Indexmenge 4n-1 hat die folge nur negative glieder. für die indexmenge 4n-3 hat sie nur positive glieder. und für die indexmenge 2n geht konvergiert die folge gegen 0 für n gegen unendlich. ja wunderbar, das passt ja ganz gut. für meine betrachtungen brauchte ich mir ja jetzt nur die 4n-1 und 4n-3 indexmenge anschauen oder....gibt es bei der indexmenge 2n noch was zu beachten, bezüglich der aufgabenstellung...
22.11.2012, 14:44	DarthVader	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann habe ich jetzt insgesamt: inf(s)=-2 lim inf(s)= - unendlich sup(s)=1/3 lim sup(s)= + unendlch oder sollte ich bei der betrachtung des grenzwertes von inf und sup eher die indexmenge mit 2n betrachten, denn dann wäre: lim inf(s)=lim sup(s)=0

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