Verständnisproblem: "Homomorphes Bild"

21.11.2012, 15:56

Zellerli

Verständnisproblem: "Homomorphes Bild"

Ich habe ziemliche Probleme beim Verstehen dieser Aufgabenstellung:

$\begin{eqnarray*} \text{Sei }n \geq 3 \text{. Bestimmen Sie alle homomorphen Bilder von }S_n \text{ in }S_{n-1}. \end{eqnarray*}$

Was ist ein homomorphes Bild? Im Skript steht nichts, meine Vorlesungsbesucher-Kumpels wissen es auch nicht und mit einer gegoogleten Definition

Zitat:

H heißt homomorphes Bild von G, wenn es einen surjektiven Homomorphismus von G nach H gibt.

komme ich nicht weiter.

Soll ich $\begin{eqnarray*} \Phi: S_n \to S_{n-1} \end{eqnarray*}$ anschauen? Und wie geht es dann weiter, suche ich Teilmengen $\begin{eqnarray*} M \subseteq S_{n-1} \end{eqnarray*}$ auf die ein (dann wohl surjektiver) Homomorphismus von $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \Psi: S_n \to M \end{eqnarray*}$ besteht?

Oder ist eine Operation von $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} S_{n-1} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} S_{n-1} \times S_n \to S_{n-1} \end{eqnarray*}$ gemeint? Das wäre ja irgendwie die symmetrische Gruppe der symmetrischen Gruppe also irgendwie wie ein Endomorphismus. Und was wäre dabei ein homomorphes Bild?

Irgendwo ist in meinem Verständnis der Wurm drin.

21.11.2012, 18:29

jester.

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Gemeint ist: Sei $\begin{eqnarray*} \varphi ~:~ S_n\to S_{n-1} \end{eqnarray*}$ ein Gruppenhomomorphismus. Was ist das Bild von $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ unter $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ? Da das Bild eine Untergruppe von $\begin{eqnarray*} S_{n-1} \end{eqnarray*}$ ist, spricht man auch vom Bild in $\begin{eqnarray*} S_{n-1} \end{eqnarray*}$ .

Im Fall $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ betrachtet man also zum Beispiel die möglichen Bilder eines Homomorphismus $\begin{eqnarray*} S_3 \to S_2 \cong C_2 \end{eqnarray*}$ . Dabei sind sowohl die volle $\begin{eqnarray*} C_2 \end{eqnarray*}$ als auch die triviale Untergruppe (als Bild des konstanten Homomorphismus, der alles auf das neutrale Element schickt) mögliche Bilder.

21.11.2012, 20:00

Zellerli

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Jetzt simma daheim. Vielen Dank, jester.!

Also soll ich "einfach" alle Bilder von möglichen Homomorphismen $\begin{eqnarray*} \Phi : S_n\to S_{n-1} \end{eqnarray*}$ angeben.

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