Basis vom Durchschnitt von 2 Untermengen

21.11.2012, 16:19

MatheNoobii

Auf diesen Beitrag antworten »

Basis vom Durchschnitt von 2 Untermengen

Meine Frage:
Aufgabe:
Gegeben sind die folgenden Unterräume von $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} U_1 = span \left\{ \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -5 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U_2 = span \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ -2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

a) Bestimmen Sie jeweils eine Basis von $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$

b) Bestimmen Sie eine Basis von $\begin{eqnarray*} U_1 \cap U_2 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
a) Bei $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ muss ich zeigen, dass die 3 Vektoren, v1, v2 und v3 linear unabhängig sind, d.h dass a,b und c = 0 sind.

3 Gleichung:

I: 3a + b = 0
II: -2a -2c = 0
III: -5a -b -2c = 0

Meiner Meinung nach sind die 3 Vektoren linear abhängig, also bilden sie keine Basis.
Nur die ersten beiden Vektoren sind linear unabhängig, also bilden diese eine Basis.
Genügen dann 2? Oder müssen alle 3 linear unabhängig sein?

Ich denke: Die ersten beiden bilden eine Basis, aber die 3 bilden kein Erzeugendensystem, da in diesem Fall 3 linear unabhängige Vektoren nötig wären, das wir uns im R^3 befinden oder?

21.11.2012, 16:28

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basis vom Durchschnitt von 2 Untermengen

Zitat:

Original von MatheNoobii

3 Gleichung:

I: 3a + b = 0
II: -2a -2c = 0
III: -5a -b -2c = 0

Ich bekomm es jetzt nicht hin zu zeigen, dass es nur die Möglichkeit a,b und c = 0 gibt. Aber wie soll ich dann eine Basis bestimmen?

Das ist auch ganz gut so,die drei Vektoren bilden keine Basis des IR³, sie spannen einen Unterraum auf, von dem sollst du die Basis bestimmen.

Edit: Zu deinem Edit:
Jap, sie sind linear abhängig und es ist nicht nach einer Basis des IR³ gefragt, sondern anch einer Basis des Unterraums, der von den drei Vektoren aufgespannt wird.
Da sollten dann zwei reichen.....

21.11.2012, 16:32

MatheNoobii

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basis vom Durchschnitt von 2 Untermengen
Noch eine Frage dazu:

Zum Erzeugendensystem:

Wenn wir uns im R^3 befinden, braucht man mind. 3 linear unabhängige Vektoren, damit sie ein Erzeugendensystem bilden oder?

21.11.2012, 16:34

MatheNoobii

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basis vom Durchschnitt von 2 Untermengen
Genügt es bei U_2 dann auch, wenn ich zeige, dass v1 und v2 linear unabhängig sind?

21.11.2012, 16:34

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basis vom Durchschnitt von 2 Untermengen
Damit sie ein Erzegendensystem des IR³ bilden, ja, dazu bedarf es mindestens drei (linear unabhängiger) Vektoren, dann hat man auch gleich eine Basis.

Aber: Es steht nirgends, dass $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ der gesamte IR³ ist.....

21.11.2012, 16:35

MatheNoobii

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basis vom Durchschnitt von 2 Untermengen
b) Und wie bestimme ich eine Basis von der Schnittmenge der Beiden?

Anzeige

21.11.2012, 16:37

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basis vom Durchschnitt von 2 Untermengen
Jetzt hat sich einiges überschnitten...

Zitat:

Original von MatheNoobii
Genügt es bei U_2 dann auch, wenn ich zeige, dass v1 und v2 linear unabhängig sind?

Was ist v1 und was v2 ? verwirrt

verwirrt

Zitat:

Original von MatheNoobii
b) Und wie bestimme ich eine Basis von der Schnittmenge der Beiden?

Wie wäre es damit, zuerst einmal den Schnitt zu bestimmen?

Hilfreich ist es, eine Basis von $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ zu bestimmen, muss man aber nicht.

21.11.2012, 16:40

MatheNoobii

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basis vom Durchschnitt von 2 Untermengen
In U1 sind 3 Vektoren, ich habe sie v1 v2 und v3 genannt.

In U2 sind 5 vektoren, ich nenne sie v1, v2, v3, v4 und v5

U1 ist abgehakt, die habe ich verstanden: Ich zeige, dass v1 und v2 l. unabhängig sind. somit bilden sie eine Basis.

U2: hier ist doch nichts anders oder? Somit müsste es auch genügen, zu zeigen, dass v1 und v2 von U2 l. unabhängig sind und somit eine Basis Bilden

b) Ich steh grad auf dem Schlauch und weiß nicht wie man den Durchschnitt von Vektoren bildet?

21.11.2012, 16:53

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basis vom Durchschnitt von 2 Untermengen
Vielleicht solltest du die Vektoren von $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ nennen und die von $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} u_i \end{eqnarray*}$ , dann kommt man bei dem Schnitt nicht in Schwierigkeiten bei der Nomenklatur der Vektoren.

Wenn du nur zeigst, dass die beiden Vektoren $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind ist noch nicht viel gewonnen, du musst zusätzlich zeigen, dass sich jeder andere Vektor als Linearkombination dieser beiden Vektoren schreiben lässt-

Das ist aber recht simpel, wenn man statt der von dir vorgeschlagenen Vektoren die beiden Vektoren

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ betrachtet.

21.11.2012, 16:58

MatheNoobii

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basis vom Durchschnitt von 2 Untermengen
Okay hab ich auch gerade gemerkt...

du musst zusätzlich zeigen, dass sich jeder andere Vektor als Linearkombination dieser beiden Vektoren schreiben lässt... Hätte ich das dann bei U1 nicht auch zeigen müssen?

21.11.2012, 17:00

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basis vom Durchschnitt von 2 Untermengen
Ich dachte, das hättest du getan? verwirrt

verwirrt

Du hast doch $\begin{eqnarray*} a v_1+bv_2+cv_3=0 \end{eqnarray*}$ gelöst, oder nicht?

21.11.2012, 17:08

MatheNoobii

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basis vom Durchschnitt von 2 Untermengen
Ah jetzt versteh ich es.

Also: bei a) U1 habe ich gemerkt, dass v1, v2 und v3 nicht liner unabh. sind.
Somit hab ich nur v1 und v2 als linear unabh. gesehen. Hab jetzt noch gerade nachgewiesen, dass v3 durch die Linearkombi von v1 und v2 zu erschaffen ist.

a) U2 Habe auch gerade gemerkt, dass dein Beispiel mit u1 und u3 logisch einfacher ist. Man sieht sofort was man für a und b einsetzen muss und dann ergibt sich der rest von alleine. Gut, das habe ich jetzt alles verstanden.

Jetzt nur noch b) der Durchschnitt 2er Unterräume...

21.11.2012, 17:14

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basis vom Durchschnitt von 2 Untermengen
Na, es handelt sich doch um zwei Ebenen im IR³, wie man deren Schnitt bestimmt lernt man in der 11. Klasse......

22.11.2012, 12:41

MatheNoobii

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basis vom Durchschnitt von 2 Untermengen
Macht man das wirklich auf diese Art und Weise? Ich dachte man muss etwas so vorgehen, indem man prüft welche Vektoren aus V sich als Linearkombination darstellen lassen aus er Basis von U?

22.11.2012, 12:48

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basis vom Durchschnitt von 2 Untermengen
Damit überprüfst du, welche der Vektoren aus V in U liegen, sprich, welche Vektoren in der Ebene liegen, die von den Vektoren aus V aufgespannt werden.

Wie würdest du dann weiter machen?

Stell deinen Lösungsvorschlag doch mal ausführlich vor.

Man kann das auch so machen, die Frage ist, wie man weiter macht wenn man herausgefunden hat, welche Vektorn aus U auch in V liegen.....

22.11.2012, 12:58

MatheNoobii

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basis vom Durchschnitt von 2 Untermengen
Ich hatte das in einem Anderen Beitrag von dir gesehen, dann wollte ich eben wissen wie man da weitermacht Big Laugh

Big Laugh

Egal ich mach es so, aber ist es richtig, wenn ich diese 2 Ebenen in Paramterform nehme?

$\begin{eqnarray*} <br /> E: X = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -5 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -2\\ 2\\ 4 \end{pmatrix} +s \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} <br /> <br /> F: X = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + u \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

und von den beiden die Schnittgerade ausrechne?

22.11.2012, 13:10

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basis vom Durchschnitt von 2 Untermengen
Zuerst einmal bruchst du den Stützvektor nicht, es handelt sich um einen Unterraum und dieser enthält die 0.

Ferner muss man auch nicht die beiden Vektoren voneinander abziehen, es handelt sich hier um Vektoren, die die Ebene aufspannen und nicht um Punkte die in der Ebene liegen.

Die einfachste Form, Ebenengleichungen aufzustellen ist also:

$\begin{eqnarray*} E_2: \vec{x}=r \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} +s \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} E_1: \vec{x}=t \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} +u \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So, nun wie gewohnt rechnen.

Eigentlich dachte ich, dass du mir die Lösung vorstellst, indem du schaust, welcher Basisvektor aus $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ liegt und andersherum.

Edit: Welcher Beitrag war das denn? kannst du mal einen Link posten?

22.11.2012, 13:17

MatheNoobii

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basis vom Durchschnitt von 2 Untermengen
Ah stimmt natürlich!

Okay dann rechne ich das jetzt mal aus.

Also einfach gleichsetzen, schon oder?

Aber wenn ich eine Basis aus U1 genommen habe, gab es kein Vektor in U2, den ich mit dieser Linearkombi erstellen hätte können.

22.11.2012, 13:23

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basis vom Durchschnitt von 2 Untermengen
Jap, einfach gleich setzen.

22.11.2012, 13:26

MatheNoobii

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basis vom Durchschnitt von 2 Untermengen
aber dann bekomme ich die 3 Gleichungen:

I r = t
II s = -2u
III 2r -2s = -t -2u

Das verwirrt mich irgendwie.

jetzt kann ich in die III Gleichung für r , t einsetzen und für -2u , s

III 2t - 2s = -t +s => t = s und r = t, also r = s = t und s = -2u ???

22.11.2012, 13:33

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basis vom Durchschnitt von 2 Untermengen
Ich würde das LGs folgendermaßen schreiben:

$\begin{eqnarray*} r-t=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2s-u=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -r-2s-2t-2u=0 \end{eqnarray*}$

Das läuft dann auf die erweiterte Matrix

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&0&-1&0&|0\\0&-2&0&-1&|0\\-1&-2&-2&-2&|0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ hinaus, brige diese auf Zeilenstufenform, parametrisiere eine Unbekannte und fertig......

So, ich muss jetzt erst mal Mittag essen.......

22.11.2012, 13:41

MatheNoobii

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basis vom Durchschnitt von 2 Untermengen
Ah okay.

Das mit der Matrix bekomme ich nicht hin, ich hab das noch nie gemacht!

Guden! smile

smile

22.11.2012, 14:23

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basis vom Durchschnitt von 2 Untermengen
Dann verwende das aus der Schule bekannte Additionsverfahren.

22.11.2012, 14:48

MatheNoobii

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basis vom Durchschnitt von 2 Untermengen
Ich komme dann auf: 3t + u = 0 und -r +t = 0 usw. aber nicht weiter?

22.11.2012, 18:01

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basis vom Durchschnitt von 2 Untermengen
$\begin{eqnarray*} 3t+u=0 \end{eqnarray*}$ ist doch brauchbar, nun löse nach u auf und setze das in die Gleichung $\begin{eqnarray*} -2s-u=0 \end{eqnarray*}$ ein, löse diese nach s auf usw.

Dann hast du irgendwann jede Unbekannte in Abhängigkeit von t.

22.11.2012, 18:42

MatheNoobii

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basis vom Durchschnitt von 2 Untermengen
r = t ; u = -3t ; s = 3/2 t ; aber wie gehts nun weiter?

22.11.2012, 18:47

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basis vom Durchschnitt von 2 Untermengen
Okay, nun haben wir die Parameter in Abhängigkeit von t errechnet:

$\begin{eqnarray*} s=\frac{3}{2} t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r=t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u=-3t \end{eqnarray*}$

Nun nimm dir eine der beiden Geradengleichungen und ersetze die Parameter.

Wie bereits gesagt, 11. Klasse Gymnasium.....

22.11.2012, 19:05

MatheNoobii

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basis vom Durchschnitt von 2 Untermengen
Also quasi so:

$\begin{eqnarray*} E_1: \vec{x}=t \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} - 3t \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} E_1: \vec{x}=t \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} +t \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 6\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} E_1: \vec{x}=t \begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

22.11.2012, 19:06

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basis vom Durchschnitt von 2 Untermengen
Genau, und nun haben wir die Geradengleichung, eine Basis sollte schnell abzulesen sein.

Ich würde $\begin{eqnarray*} E_1 \end{eqnarray*}$ da nicht hinschreiben, es ist falsch, das ist nicht mehr unsere ebene E1 sondern eine Gerade, die in der Ebene liegt.

22.11.2012, 19:09

MatheNoobii

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basis vom Durchschnitt von 2 Untermengen
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 6\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das ist jetzt die Basis
Ja das mit dem E war nur versehentlich, hab das von oben kopiert...

22.11.2012, 19:13

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basis vom Durchschnitt von 2 Untermengen
Na, das ist nun wirklich zu simpel als dass ich dir das noch sagen werde.

Schau dir den Thread noch mal ausgiebig an, besonders die Stelle, an der wir anhand einer Basis die Ebenengleichungen erstellt haben.....

22.11.2012, 19:17

MatheNoobii

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basis vom Durchschnitt von 2 Untermengen
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 6\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist die basis

22.11.2012, 19:20

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basis vom Durchschnitt von 2 Untermengen
unglücklich

unglücklich

Nein, hätte eine Basis zwei Elemente, sprich bestünde sie aus zwei Vektoren, dann hätte der Unterraum die Dimension 2.

Also welche Dimension hat eine Gerade?

Edit: Und die Basis existiert nicht, eine Basis aber schon Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.11.2012, 19:23

MatheNoobii

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basis vom Durchschnitt von 2 Untermengen
Eine Gerade hat die Dimension 1, also besteht die Basis nur aus einem Element?

Der Unterraum ist ja nur eine Gerade, die Schnittmenge aus 2 Ebenen...

Das schwierige war für mich jetzt. Ich habe noch nie die Schnittgerade von 2 Ebenen in Parameterform ausgerechnet, vorher immer in die Normalenform gebracht Big Laugh

Big Laugh

Jetzt bin ich wieder drin...

22.11.2012, 19:27

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basis vom Durchschnitt von 2 Untermengen

Zitat:

Original von MatheNoobii
Eine Gerade hat die Dimension 1, also besteht die Basis nur aus einem Element?

Genau so ist die dimension definiert, durch die Anzahl an Basiselementen.

Zitat:

Original von MatheNoobii
Der Unterraum ist ja nur eine Gerade, die Schnittmenge aus 2 Ebenen...

Das schwierige war für mich jetzt. Ich habe noch nie die Schnittgerade von 2 Ebenen in Parameterform ausgerechnet, vorher immer in die Normalenform gebracht Big Laugh

Big Laugh

Jetzt bin ich wieder drin...

Okay, und wie lautet nun eine Basis?

22.11.2012, 19:34

MatheNoobii

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basis vom Durchschnitt von 2 Untermengen
Also es gibt viele Basen (heißt so die Mehrzahl) ? Und was wäre nun eine? Ich weiß es nicht.... Ich versteh das immer noch nicht!

22.11.2012, 19:48

MatheNoobii

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basis vom Durchschnitt von 2 Untermengen
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ wäre doch dann einer? Oder ich setze für t = 2, dann eben $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 12\\ 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

22.11.2012, 20:03

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basis vom Durchschnitt von 2 Untermengen
Nun denn,was soll ich sagen, was lange währt wird endlich gut?

Du hast es erfasst, je nachdem welchen Körper man betrachtet können unendlich viele verschiedene Basen (so lautet der Plural) existieren.

Du hast ja nun zwei Basen für die Gerade gefunden.

Noch Fragen?

22.11.2012, 21:21

MatheNoobii

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basis vom Durchschnitt von 2 Untermengen
Sorry, dass ich gerade nochmal weg war.

Ja noch eine Frage:

Ich habe jetzt diese Basis und wie kann ich durch diese jetzt mit Linearkombination Vektoren der Beiden Mengen darstellen?

22.11.2012, 21:43

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basis vom Durchschnitt von 2 Untermengen
Was möcjhtest du machen?

Möchtest du den Geradenvektor als Linearkombination der Basisvektoren von $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ darstellen? verwirrt

verwirrt

Das haben wir doch gerade gemacht.....

12 nächste Seite »

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »