Vektoren in Summe schreiben

21.11.2012, 17:53

Anni09

Vektoren in Summe schreiben

Hallo liebe Community smile

Ich habe folgende Aufgabe.

Aufgabe:

Schreiben sie die Vektoren $\begin{eqnarray*} w_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

in der Form:

$\begin{eqnarray*} w=\sum\limits_{i=1}^n a_iv_i \end{eqnarray*}$

Leider weiss ich nicht genau wofür, $\begin{eqnarray*} a_iv_i \end{eqnarray*}$ steht. Also w steht ja sicherlich für das Ergebnis, bzw. Da sollen die angegeben Vektoren später rauskommen.
$\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ steht denke ich mal für die Vektoren ansich, und $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ ist dann ein Skalar oder wie ist das zu verstehen ?

Wäre nett wenn mir das jemand beantworten könnte,
viel liebe Grüße Anni <3

21.11.2012, 18:15

Elvis

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Ohne die Kenntnis der Vektoren $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ kann man das nicht beantworten. Das ist genau so sinnlos wie die Aufgabe "schreibe 325 als Summe".

21.11.2012, 18:25

Leopold

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$\begin{eqnarray*} 325 = 327{,}858 + \left( -2{,}858 \right) \end{eqnarray*}$

Tanzen

21.11.2012, 18:41

Anni09

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Zitat:

Ohne die Kenntnis der Vektoren $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ kann man das nicht beantworten. Das ist genau so sinnlos wie die Aufgabe "schreibe 325 als Summe".

Mh, ich dachte müsste selber irgendwelche $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ ´s wählen, allerdins steht in der Aufgabe zuvor drei Vektoren

$\begin{eqnarray*} v_1=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_3=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

vll, soll man diese auch noch mit verweden.

In Aufgabe 1, ging es darum diese Vektoren um einen weiteren Vektor $\begin{eqnarray*} v_4 \end{eqnarray*}$ so zu ergänzen, dass diese vier Vektoren eine Basis bilden.

Lg. Anni09

21.11.2012, 20:29

Leopold

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Zitat:

Original von Anni09
vll, soll man diese auch noch mit verweden.

"Vielleicht" kannst du streichen. Mache den Ansatz mit unbekannten $\begin{eqnarray*} a_1,a_2,a_3 \end{eqnarray*}$ und löse das lineare Gleichungssystem, das du durch Koordinatenvergleich erhältst.

21.11.2012, 21:02

Anni09

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Also ich weiss zwar nicht genau was ein Koordinatenvergleich ist, aber mein Gleichungssystem sieht nun so aus.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 + a_2 + a_3 \\ -a_1 + a_2 + a_3 \\ -2a_2 + a_3 \\ -3a_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dies lässt sich aber nicht lösen geschockt

Für die ersten beiden zeilen bekomme ich einen wiederspruch verwirrt

21.11.2012, 21:12

Leopold

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Zitat:

Original von Anni09
Dies lässt sich aber nicht lösen geschockt

Das läßt sich wunderbar von unten nach oben aufllösen.

Zitat:

Original von Anni09
Für die ersten beiden zeilen bekomme ich einen wiederspruch verwirrt

Ich nicht.

21.11.2012, 21:45

Anni09

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Mh also wenn ich das auflöse, muss bei mir:

$\begin{eqnarray*} a_3=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_2=\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_1=2 \end{eqnarray*}$

Sein, aber für die erste Zeile müsste dann

$\begin{eqnarray*} a_1=0 \end{eqnarray*}$

sein.

22.11.2012, 18:10

Elvis

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@Leopold . Danke für die (nichtkanonische) Summendarstellung der 325.

@Anni09 . Wie kommst Du auf $\begin{eqnarray*} a_1=2 \end{eqnarray*}$ ? Im allgemeinen ist $\begin{eqnarray*} \frac 2 3 + \frac 1 3 =1 \end{eqnarray*}$ ; das gilt hier sogar 2 mal.

22.11.2012, 18:48

Anni09

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Zitat:

@Anni09 . Wie kommst Du auf $\begin{eqnarray*} a_1=2 \end{eqnarray*}$ ? Im allgemeinen ist $\begin{eqnarray*} \frac 2 3 + \frac 1 3 =1 \end{eqnarray*}$ ; das gilt hier sogar 2 mal.

Sehe es ein, weiss auch nicht wie ich dadrauf kam verwirrt

Aber gut dann geht es natürlich mit:

$\begin{eqnarray*} a_3=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_2=\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_1=0 \end{eqnarray*}$

22.11.2012, 22:02

Anni09

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 + a_2 + a_3 \\ -a_1 + a_2 + a_3 \\ -2a_2 + a_3 \\ -3a_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hier kriege ich aber komischerweise folgendes Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} a_3=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_2=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_1=0 \end{eqnarray*}$

Aber dann kann nur
$\begin{eqnarray*} a_1+a_2+a_3 \neq 1 \end{eqnarray*}$
gelten verwirrt

23.11.2012, 17:20

Elvis

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Stimmt genau. Deshalb hat dieses Gleichungssystem keine Lösung. Ist nicht komisch, ist einfach so.

24.11.2012, 09:51

JessyD

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Hallo,

ich gehe mal davon aus, dass du Mathe in Essen studierst und den Übungszettel 5 aus LinA 1 (WS 2012/13) bearbeitest Augenzwinkern

Mache ich nämlich auch grade Big Laugh

Ich denke du gehst die Aufgabe grundsätzlich falsch an. Die Vektoren v1 - v3 sollen zu einer Basis ergänzt werden (eine Teilaufgabe eher).

Mit dieser Basis soll mann die Vektoren w1 und w2 abbilden. Dann ist das Gleichungssystem auch lösbar.

Soweit zu der Aufgabe (wenn wir die gleiche meinen).

Wenn das Gleichungssystem jetzt gelöst ist, kann ich dann einfach die Summe folgendermaßen schreiben:

$\begin{eqnarray*} w_1 = \frac{8}{3} v_1 + \frac{4}{3} v_2 + \frac{1}{3} v_3 + 0 v_4 = \sum_{i=1}^{4} a_i v_i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_i \in \{ \frac{8}{3}, \frac{4}{3}, \frac{1}{3}, 0 \} \wedge v_i \in \{\begin{pmatrix} 1\\-1\\0\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1\\1\\-2\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1\\1\\1\\-3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\0\\0\\1 \end{pmatrix}\} \end{eqnarray*}$

Wenn ich mich jetzt nicht verrechnet habe, müssten die "drittel" so stimmen. ABer ist die Darstellung als Summe so richtig?

Liebe Grüße
Jessy

24.11.2012, 17:28

Anni09

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Ja genau das hab ich mich ja gefragt, ob man den vierten Vektor ebenfalls hinzunehmen muss.

Da die Aufgabe so natürlich lösbar ist, denke ich mal das wir v4 einbeziehen sollen.

Vielen dank,
Lg. Anni09 Wink

25.11.2012, 06:40

JessyD

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Hallo,

freut mich, dass ich auch mal helfen konnte Augenzwinkern

Offen bleibt allerdings die Frage ob die Summenschreibweise so korrekt ist.
Ich bin nicht sicher ob das mit den Mengen so klappt.

Jessy

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