Verschoben! Matrizen Übergangsprozesse

21.11.2012, 19:30

bob123

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Matrizen Übergangsprozesse

Meine Frage:
Hi ich habe 2 Aufgaben aufbekommen und weiss nicht weiter:

[attach]26822[/attach]

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Die nummer 10 und 11

Bei 10) Die Matrix hab ich mir aufgestellt:

A=

3a | b | 2c
0,2| 0,7 | c
a | 0,2 | 7c

Ich weiß dass die Spalten 1 ergeben muss, spricht 3a + 0,2 + a = 1

d.h. 4a = 0,8 | :4

a = 0,2 ?
Dann muss b 0,1 sein und c = 0.1 sein?

Und bei 11) Kann mir jemand dazu Lösungsansatz geben bzw. Erklären?

Meine Ideen:
Nr10;

A=

3a | b | 2c
0,2| 0,7 | c
a | 0,2 | 7c

Ich weiß dass die Spalten 1 ergeben muss, spricht 3a + 0,2 + a = 1

d.h. 4a = 0,8 | :4

a = 0,2 ?
Dann muss b 0,1 sein und c = 0.1 sein?

Und bei 11) Kann mir jemand dazu Lösungsansatz geben bzw. Erklären?

21.11.2012, 21:29

Helferlein

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10 ist korrekt, es hätte allerdings gereicht das unter Ideen zu posten Lehrer

Lehrer

Bei 11 solltest Du berücksichtigen, dass es sich um stochastische Matrizen handelt. Das schränkt die Unbekannten ein.

22.11.2012, 11:49

bob123

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[A]² bedeutet ja nichts anderes als:

A * A = [ 0,375 x ]
[ x y ]

Aber wie ermittel ich das jetzt? Oo

22.11.2012, 13:33

bob123

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Also

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 0,5 & x \\ 0,5 & y\end{vmatrix} ² = 0,375 \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 0,5 & x \\ 0,5 & y\end{vmatrix} * \begin{vmatrix} 0,5 & x \\ 0,5 & y\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

dann kommt für 0,5*0,5 = 0,25 raus. Wo muss der Eintrag hin? Wenn er $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 0,5 & 0,25 \\ 0,5 & y\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

reinkommt, dann weiß ich ja das y 0,75 muss und kann die anderen werte auch errechnen. Stimmt das denn so?

22.11.2012, 14:52

benny 0815

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mhh .... Helferlein scheint nicht vor Ort zu sein, da will ich mal einspringen.

Also wir bilden erst mal das Quadrat der Matrix (das ist NICHT die Determinante).

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0.5 & x \\ 0.5 & y \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 0.5 & x \\ 0.5 & y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.25 + 0.5x & 0.5x + xy \\ 0.25 + 0.5y & 0.5x + y² \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nach Aufgabenstellung soll gelten:

0.25 + 0.5x = 0.375

Damit kann man x errechnen.

Da die Spaltensumme 1 ergeben soll kann man nun auch den Wert für y errechnen ...

Und schon ist die Aufgabe gelöst!

22.11.2012, 15:46

bob123

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Also wie ich gesagt habe x = 0,25 und y = 0,75 oder?

Kannst du mir bitte nochmal für die zweite Matrix die Lösung angeben, damit ich ne Art "Richtwert" habe? Wäre sehr nett, wenn ich wüsste was raus kommt, dann kann ich das für mich selbst nochmal vertiefen.

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22.11.2012, 15:51

Benny 0815

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yip ... x=0,25 und y=0,75 sind m.E. korrekt.

Welche "zweite" Matrix meinst du denn? Die Aufgabe 10 wurde doch schon als korrekt eingestuft!

22.11.2012, 15:55

Benny 0815

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ach jetzt seh ich das! Da gibt es noch einen Aufgabenteil b) ...

Neee,mein Lieber, deine Hausaufgaben mache ich nicht. Das geht doch nach fast genau dem gleichen Schema. Also probier das mal schön selber! Big Laugh

Big Laugh

Wenn du dabei auf Probleme stößt, dann helfe ich dir natürlich gern!

22.11.2012, 16:20

bob123

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Geht ja nur um die Lösungen Oo, den Rechenweg brauch ich doch selbst^^

22.11.2012, 16:35

bob123

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Zitat:

Original von benny 0815
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0.5 & x \\ 0.5 & y \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 0.5 & x \\ 0.5 & y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.25 + 0.5x & 0.5x + xy \\ 0.25 + 0.5y & 0.5x + y² \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist es am Ende nicht x² statt xy?

22.11.2012, 16:42

Benny 0815

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nö, das ist schon so wie ich es geschrieben habe. Zeile 1 mal Spalte 2 ergibt

(0.5 x) ( x y) = 0.5x + xy

Wenn du einen "Richtwert" für den Aufgabenteil b) haben möchtest, dann verrate ich dir mal, dass m.E.

a = 1/15

ist. Big Laugh

Big Laugh

22.11.2012, 18:13

bob123

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a² + bc & ac + dc \\ ab + bd & cb + d² \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0,28 & x \\ 0,78 & y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und ich weiß, dass a + d = 1,2, wie gehts nun weiter? Meiner Meinung nach nach a bzw. d umformen und einsetzen.

22.11.2012, 19:55

Benny 0815

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Deine Schlussfolgerung ist nicht richtig ... wo kommt denn da x und y her?

Du weißt, dass

a² + bc = 0,28

a + c = 1

b + d = 1

a + d = 1,2

Na, und das wertest du jetzt ganz einfach aus! 4 Gleichungen ... 4 Unbekannte ... Die Gleichungen sehen zwar nicht so ganz linear aus ... aber schauen wir halt mal, was sich daraus ergibt! Big Laugh

Big Laugh

22.11.2012, 20:15

bob123

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Weiß ich dann nicht auch automatisch, weil a² + bc = 0,28 ist, dass ab + bd = 0,72 sein muss?

Denn die Spaltensumme in der Endmatrix muss ja auch 1 ergeben.

Verdammt, das gibts doch nicht, ich kriegs nicht hin die Gleichung aufzulösen lol.

22.11.2012, 20:36

Benny 0815

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Zitat:

Weiß ich dann nicht auch automatisch, weil a² + bc = 0,28 ist, dass ab + bd = 0,72 sein muss?

Das ist schon richtig, aber diese Gleichung ist redundant, weil sie sich aus den anderen Bedingungen ergibt.

Zitat:

Verdammt, das gibts doch nicht, ich kriegs nicht hin die Gleichung aufzulösen lol.

och, das schaffst du schon ... nur nicht den Mut verlieren! Big Laugh

Big Laugh

22.11.2012, 20:41

bob123

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Also ich hab das jetzt versucht dies und das und jenes umzuformen und einzusetzen, aber ich komm zu nichts... :X

Und mein GTR kann das auch nicht lösen, weil ich eben diese a² und b*c nicht eingeben kann.

Was muss ich denn als ersten Schritt machen damit ich weiterkomm?
Vielleicht hast du das übersehen, deshalb hier nochmal: Weiß ich dann nicht auch automatisch, weil a² + bc = 0,28 ist, dass ab + bd = 0,72 sein muss?

22.11.2012, 20:49

bob123

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a² + bc = 0,28
a + c = 1
b + d = 1
a + d = 1,2
ab+bd = 0,72

d = 1,2-a
b= 1-d
a(1-d)+(1-d)(1,2-a)

1,2-1,2d = 0,72

-1,2d = -0,48

d = 0,4

a + d = 1,2
a = 0,8

Hm... scheint plausibel zu sein, was meinst du?^^

Hmm... dann komm aber nicht das raus was in der Aufgabe steht, sondern komplett was anderes..

22.11.2012, 21:09

bob123

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0,76 & 0,24 \\ 0,72 & 0,28 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das kommt raus für a = 0,8 ; b = 0,6 ; c = 0,2 und d = 0,4

Das stimmt ja nicht ... :/

22.11.2012, 21:32

Benny 0815

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Hab ich dir denn gesagt, dass du die 5. Gleichung mit dazu nehmen sollst? Big Laugh

Big Laugh

Verwende doch einfach die ersten 4 Gleichungen und löse die auf. Und fertig ist der Lack!

22.11.2012, 21:36

Benny 0815

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Dein Fehler liegt einfach darin, dass du das Produkt der Matrix falsch berechnet hast. Links unten steht nämlich nicht "ab + bd" sondern "ac + cd" ... aber wie gesagt, vergiss das einfach und nimm die ersten 4 Gleichungen. Big Laugh

Big Laugh

22.11.2012, 21:52

bob123

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Omg, ich bin so dumm! -.-

Das liegt daran, dass ich zu sehr auf mein falsches Geschreibe geschaut hab und dann hab ich gerade alles weggeworfen und neu angefangen und das gesehen und dann nochmal hier geguckt, und du hast ebenfalls auf dasselbe hingewiesen, omg...

Ja, klar.. Danke für deine Hilfe... und die Geduld... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Lösung: a = 0,4; b = 0,6; c= 0,2; d = 0,8

Raus kommt das richtige^^ [0,28 ; 0,24] und [0,72 ; 0,76]

22.11.2012, 22:01

Benny 0815

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Na also, geht doch! Jetzt ist alles richtig!

Gratuliere! Freude

Freude

22.11.2012, 22:04

Benny 0815

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ehem ... kleine Korrektur

a = 0,4 b = 0,2 c = 0,6 und d = 0,8

Ich nehme an, du hast dich einfach verschrieben! Big Laugh

Big Laugh

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