Invertierbarkeit der Summe zweier Matrizen

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21.11.2012, 20:24	Asbest	Auf diesen Beitrag antworten »
Invertierbarkeit der Summe zweier Matrizen Meine Frage: $\begin{eqnarray} A \in M(n\times n; \mathbb R ) \end{eqnarray}$ sei eine Projektion, d.h. es gilt: $\begin{eqnarray} A² = A \end{eqnarray}$ Jetzt soll gezeigt werden dass: $\begin{eqnarray} E_{n} + A \end{eqnarray}$ invertierbar ist. $\begin{eqnarray} E_{n} \end{eqnarray}$ soll die Einheitsmatrix sein. Meine Ideen: Mein erster Gedanke war dass: $\begin{eqnarray} E_{n} + A = E_{n} + A² = E_{n} + (A A) \end{eqnarray}$ Dann stellte sich mir die Frage ob vllt eine Summe von Matrizen immer dann invertierbar ist, wenn alle Summanden invertierbar sind. Was dann bedeuten würde dass man beweisen müsste dass sowohl $\begin{eqnarray} E_{n} \end{eqnarray}$ als auch $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray*}$ invertierbar sind.
22.11.2012, 01:21	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Nimm mal den Ansatz $\begin{align} E+\alpha A \end{align}$ für das Inverse von $\begin{align} E+A \end{align}$ . Übrigens: Deine Vermutung ist falsch. Beispiel: $\begin{eqnarray} <br /> D = \begin{pmatrix} 1 & 1<br /> 0 & 1<br /> \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0<br /> 0 & 0<br /> \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1<br /> 0 & 1<br /> \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ D ist invertierbar: $\begin{eqnarray} <br /> D^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1<br /> 0 & 1<br /> \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ aber die Matrizen auf der rechten Seite sind beide nicht invertierbar.
22.11.2012, 21:18	Asbest	Auf diesen Beitrag antworten »
Soll ich also schreiben: $\begin{eqnarray} (E_{n} + A)^{-1} = E_{n} + \alpha A \end{eqnarray}$
22.11.2012, 23:50	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
das bedeutet es, wenn man sagt "nimm mal den Ansatz"
26.11.2012, 16:38	Asbest	Auf diesen Beitrag antworten »
okay habs jetzt nochmal mit dem Ansatz versucht aber hab absolut keine ahnung wie ich das umsetzen soll. mir mag auch nicht ganz klar werden was das $\begin{eqnarray} A² = A \end{eqnarray}$ für eine Auswirkung haben soll.
26.11.2012, 17:20	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (E_{n} + A)^{-1} = E_{n} + \alpha A \end{eqnarray}$ Bilde doch mal $\begin{align} E_n = (E_{n} + A)^{-1}\cdot (E_{n} +A) =(E_{n} + \alpha A)\cdot (E_{n} +A) \end{align}$ dann wird dir das schon auffallen.
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26.11.2012, 18:07	Asbest	Auf diesen Beitrag antworten »
inwiefern meinst du bilden ? in matrixform ? die Gleichung und alles ergibt schon sinn für mich .. aber ich weiss einfach nicht was ich damit anfangen soll. ich hab jetzt mal die Multiplikation $\begin{eqnarray} (E_{n} + \alpha A) (E_{n} + A) = E_{n} \end{eqnarray}$ mit mehreren Gleichungen dargestellt, also: $\begin{eqnarray} (\alpha a_{11} + 1)(a_{11} + 1) + (\alpha a_{12})(\alpha a_{21}) + ... + (\alpha a_{1n})(\alpha a_{n1}) = 1 \end{eqnarray}$ und die zweite dann dementsprechend: $\begin{eqnarray} (\alpha a_{11} + 1)(a_{12}) + (\alpha a_{12})(\alpha a_{22}) + ... + (\alpha a_{1n})(\alpha a_{n2}) = 0 \end{eqnarray*}$ und eben so weiter. macht das sinn ode rbefind ich mich aufm holzweg ?
26.11.2012, 18:11	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst das nicht komponentenweise darstellen, es reicht die Matrix-Gleichung. Multipliziere die doch mal aus und berücksichtige $\begin{align} A^2 = A \end{align}$ .
26.11.2012, 19:09	Asbest	Auf diesen Beitrag antworten »
okay ... dann komm ich auf $\begin{eqnarray} E_{n} = (E_{n} + A) (E_{n} + \alpha A) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = E_{n}² + AE_{n} + \alpha AE_{n} + \alpha A² \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = E_{n} + A + 2\alpha A \end{eqnarray}$ darf ich jetzt $\begin{eqnarray} -E_{n} \end{eqnarray}$ machen ? dann hätte ich ja: $\begin{eqnarray} A + 2\alpha A = 0 \end{eqnarray}$ bzw würde mir das überhaupt etwas nützen ?
26.11.2012, 21:24	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürlich kannst du auf beiden Seiten eine Matrix, z.B. $\begin{align} E_n \end{align}$ , abziehen. Wie wär's jetzt mit ausklammern? Die rellen $\begin{align} n\times n \end{align}$ -Matrizen bilden einen Vektorraum $\begin{align} V \end{align}$ , in dem ein Distributivgesetz gilt: $\begin{eqnarray} (\alpha +\beta)v = \alpha v + \beta v \text{ für alle } \alpha,\beta \in\mathbb{R}, v\in V \end{eqnarray}$
26.11.2012, 21:27	Asbest	Auf diesen Beitrag antworten »
okay riesen dank schonmal ... ich werde jetzt mal ab hier schaun wie weit ich komme. danke für die guten tips und die schnellen antworten
26.11.2012, 21:43	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
bitte sehr, gern geschehen

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