Verschoben! Übergangsmatrix bestimmen

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21.11.2012, 20:38	Matrixi	Auf diesen Beitrag antworten »
Übergangsmatrix bestimmen Meine Frage: Hallo zusammen, ich sitze hier gerade an einer Aufgabe die mir wirklich Kopfzerbrechen bereit: Im Jahr 1900 lebten 80000 Menschen in der City (c) und 20.000 in dem Vorort (V). Im Jahre 1995 lebten 76.000 in der City und 24.000 im Vorort. Erstellen sie die Übergangsmatrix. Zur Kontrolle: Zur Kontrolle: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0,9 & 0,1 \\ 0,2 & 0,8 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Meine Idee: Ist meine Idee richtig, wenn ja wie soll ich den 4 Unbekannte mit nur 2 Gleichungen herausfinden? Meine Ideen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 80 \\ 20 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 76 \\ 24 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ -> $\begin{eqnarray} 80a + 20b = 76 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 80c + 24d = 24 \end{eqnarray*}$ edit von sulo: Vielleicht sollte man nicht 80% der Anfrage in Latex schreiben, das ergibt nämlich extrem breite Zeilen. Habe das korrigiert.
21.11.2012, 20:43	Matrixi	Auf diesen Beitrag antworten »
Entschuldigt bitte den falschen Thread-Titel! Wäre es einem Mod vielleicht möglich dies zu ändern?
21.11.2012, 20:52	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab die Überschrift mal an die Frage angepasst. Du übersiehst, dass Du eine Übergangsmatrix erhalten willst. Die hat eine ganz bestimmte Eigenschaft, die Du nutzen kannst.
21.11.2012, 21:36	Matrixi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe jetzt mein ganzes Mathebuch auf den Kopf gestellt und das einzige was ich gefunden habe ist, dass a+c 1 ergeben müssten sowie b+d=1 Doch wie sollte das mich weiterbringen, oder bin immer noch auf dem falschen Dampfer?
21.11.2012, 22:02	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Na dann hast Du doch vier Gleichungen mit insgesamt vier Unbekannten (Wobei ich die beiden letzten einfach umformen und einsetzen würde, um nur mit zwei Unbekannten zu arbeiten).
21.11.2012, 22:09	Matrixi	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimm! Stand etwas auf'm Schlauch. Danke!
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22.11.2012, 10:48	gast1a2b3c	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso müssen hier die Zeilensummen 1 ergeben. Ich dachte immer die Spaltensummen müssten 1 sein????
22.11.2012, 11:17	gast1a2b3c	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich versteh das net! wenn man von dem Ansatz ausgeht $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 80 \\ 20 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 76 \\ 24 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ dann erhält man doch das Gleichungssystem $\begin{eqnarray} (1) 80a + 20b = 76 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (2) 80c + 20d = 24 \end{eqnarray}$ Wenn ich da a + c = 1 und b + d = 1 verwende dann kann ich in der zweiten Gleichung c und d durch a und b ersetzen und erhalte $\begin{eqnarray} (2) 80 * (1 - a) + 20 (1 - b) = 24 \end{eqnarray}$ Umgeformt erhält man $\begin{eqnarray} (2) -80a - 20b = -76 \end{eqnarray}$ Und das ist zu (1) linear abhängig. Wenn ich die Zeilensumme gleich 1 setze, erhalte ich zwar eine Lösung, die stimmt aber nicht der Kontroll-Lösung überein. Als ich verstehe jetzt nur noch Bahnhof!
23.11.2012, 08:56	gast1a2b3c	Auf diesen Beitrag antworten »
Also die Lösung hab ich jetzt hinbekommen, wenn die Zeilensumme gleich 1 setze. Wann muss denn die Zeilensumme 1 sein und wann die Spaltensumme. Ich hoffe, dass mir das jemand sagen kann.
23.11.2012, 19:47	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Übergangsmatrix bestimmen nun, ich versuch es mal. Sei $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 0,9 & 0,1 \\ 0,2 & 0,8 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ dann stimmt das Ergebnis nur, wenn $\begin{eqnarray} A^T \cdot \binom {80}{ 20 } =\binom {76}{ 24} \end{eqnarray}$ angenommen wird. und jetzt stimmt das mit der Spaltensumme auch wieder Andere Erklärung: es ist $\begin{eqnarray} (80,20)\cdot A = (76,24) \end{eqnarray}$ gemeint, also Zeilenvektor mal Matrix=Zeilenvektor. was in der linearen Algebra auch üblich ist.
23.11.2012, 23:27	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit den Angaben von oben ist die Lösung nicht eindeutig, sondern lässt mehrere Matrizen zu. Die Originalaufgabe enthält aber noch weitere Angaben in Form von der Bevölkerungsverteilung im Jahr 2000. Entweder hat Euer Lehrer das übersehen, oder Du hast es hier nicht erwähnt.
23.11.2012, 23:43	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
das sind die Threads die man liebt. Manche verwechseln uns wohl mit Magiern, die alles aus dem Hut zaubern können
24.11.2012, 12:40	gast1a1b1c	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt habe ich das verstanden. Tatsächlich muss die SPALTENSUMME 1 ergeben ... die "Kontroll Lösung" ist also einfach nicht richtig, da transponiert. Es muss richtig heißen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0.9 & 0.2 \\ 0.1 & 0.8 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Und tatsächlich ist das entstehende Gleichungssystem linear abhängig. D.h. alle Werte, welche die Gleichung 80a + 20b = 76 erfüllen sind eine gültige Lösung, also etwa $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0.8 & 0.6 \\ 0.2 & 0.4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Im übrigen ist die Aufgabe ohnehin Pillepalle, weil hier ja unterstellt wird, dass die Bevölkerungszahl konstant bleibt. Man hätte also wohl eher mit Prozenanteilen arbeiten müssen. Na, jedenfalls ist jetzt meine Welt wieder in Ordnung!
24.11.2012, 14:43	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man selbst drauf kommt, dann ist es sowieso am besten.

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