Span, Polynome, Gleichheit

21.11.2012, 23:33

Peter Lustig

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Span, Polynome, Gleichheit

Aufgabe:
Sei K ein Körper, $\begin{eqnarray*} a_{0}, a_{1}, ..., a_{n} \in K mit a_{i} \neq a_{j} \end{eqnarray*}$ fuer $\begin{eqnarray*} i \neq j \end{eqnarray*}$ Für i = 0, 1, ..., n sei $\begin{eqnarray*} p_{i} \in K\left[x\right] \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} p_{i}(x):= \prod \limits_{j=0,j\neq i}^{n} \frac{x-a_{j} }{a_{i}-a_{j}}\ \end{eqnarray*}$

a) Zeigen sie, dass $\begin{eqnarray*} span \left\{ p_{0}, p_{1}, ..., p_{n} \right\} = \left\{ p\in K\left[x\right] | deg(p)\leq n \right\} \end{eqnarray*}$
b) Dazu hab ich mir noch keine Gedanken gemacht, also poste ich sie auch (noch) nicht.

Meine Ideen:
So einen wirklichen Plan habe ich noch nicht, hab Schwierigkeiten wie ich am besten an diese Aufgabe herangehe. Hab mir überlegt ob man evtl. irgendetwas mit Induktion anfangen kann?!

22.11.2012, 14:13

Peter Lustig

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Hat denn keiner eine Idee oder Denkanstoss für mich?

Ich weiß nicht wirklich, wie ich anfangen soll.

24.11.2012, 11:14

Peter Lustig

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SO, ich habe mir nochmal ein paar Gedanken zu dieser Aufgabe gemacht, aber viel ist nicht bei rumgekommen.

Macht es evtl. Sinn das Produkt in einen von x-abhängigen Teil und ein einen nicht-von-x-abhängigen Teil aufzuteilen?!

Vielleicht hat ja mittlerweile jemand eine Idee für mich, denn ich weiß nicht so wirklich was mit dieser Aufgabe anzufangen.

24.11.2012, 11:25

Peter Lustig

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Achja, dass ich zwei "inklusionen" zeigen muss, ist mir auch klar. Also einmal von links, einmal von rechts Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.11.2012, 11:32

EinGast

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RE: Span, Polynome, Gleichheit
der Punkt ist, dass diese Polynome $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ eine bestimmte Eigenschaft haben: Was ist $\begin{eqnarray*} p_i(a_k) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=0,\dots,n \end{eqnarray*}$ ?

24.11.2012, 12:01

Peter Lustig

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Ich habe jetzt einfach mal die Definition des Span angewendet, womit ich eine beliebige Linearkombination der p's bekomme.

Jedes p besteht ja aus den Faktoren für j=0 bis j=n, wobei wegen der Vorraussetzung i $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ j jeweils ein Faktor herausfällt, womit ich dann auf n Faktoren komme und somit sich für x als maximaler Exponent n ergibt. Das wäre ja dann die Richtung "=>" oder ist das falsch?

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24.11.2012, 12:08

EinGast

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ja, das zeigt die Inklusion $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ . Für die andere steht in meinem Beitrag oben ein Ansatz...

24.11.2012, 12:10

Peter Lustig

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Okay, danke, dann werde ich mich daran jetzt mal versuchen Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.11.2012, 16:17

Peter Lustig

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Wie soll das mit deinem Ansatz funktionieren? Verstehe es nicht wirklich...

24.11.2012, 17:25

Peter Lustig

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Also mir fält einfach nichts dazu ein für die zweite Inklusion.

Wenn noch jemand ein Tipp hat, der mir helfen könnte, wäre sehr nett, wenn er ihn posten würde.

Bin erstmal weg.

24.11.2012, 19:44

EinGast

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Sei $\begin{eqnarray*} p\in K[x] \end{eqnarray*}$ ein Polynom vom Grad höchstens $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Wir haben zu zeigen, dass es $\begin{eqnarray*} \lambda_0,\dots,\lambda_n\in K \end{eqnarray*}$ gibt mit

$\begin{eqnarray*} p(x)=\sum_{i=0}^n\lambda_i\, p_i(x) \quad (*) \end{eqnarray*}$ .

Falls das überhaupt möglich ist, so kann man aus dieser Gleichung nun die $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ bestimmen mit Hilfe einer bestimmten Eigenschaft der $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ (siehe mein erster Post).
Dann muss man noch zeigen, dass mit dieser Wahl der $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ die Gleichung (*) tatsächlich erfüllt ist...

25.11.2012, 15:30

Peter Lustig

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Okay.

dann bekomme ich heraus:

$\begin{eqnarray*} p_{i} (a_{k}) = 1 \end{eqnarray*}$ für den Fall $\begin{eqnarray*} k = i \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} p_{i} (a_{k}) = 0 \end{eqnarray*}$ für den Fall $\begin{eqnarray*} k \neq i \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?
Aber was bringt mir das jetzt genau?

26.11.2012, 16:26

Peter Lustig

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hat jemand einen tipp was ich damit jetzt anfagen kann?

26.11.2012, 20:06

EinGast

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was passiert denn, wenn man in gleichung (*) $\begin{eqnarray*} x=a_k \end{eqnarray*}$ wählt?

26.11.2012, 20:45

Peter Lustig

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Ja, habe mir damit noch ein paar Gedanken mit einem Kollegen gemacht Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wenn ich besagtes in Gleichung (*) einsetze, erhalte ich $\begin{eqnarray*} p_{i}(a_{k})=\lambda _{i} \end{eqnarray*}$ und das gilt ja für k = 0, ..., n.

Dann überprüfe ich auf lineare unabhängigkeit. und erhalte damit, dass alle
$\begin{eqnarray*} p_{i} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind. da außerdem dim span(p0, ..., pn) = n + 1 ist und wir n+1 linear unabhängige Polynome haben, bildet span(p0,..., pn) eine Basis (nach einem Satz aus der Vorlesung). Da auch die Dimension der rechten Seite n+1 ist, folgt wiederum nach einem Satz aus der Vorlesung schließlich die Gleichheit beider Seiten.

Vielen Dank für deine ganzen Rückantworten smile

smile

Ich hoffe, dass passt jtezt alles so Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.11.2012, 20:53

EinGast

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Zitat:

Original von Peter Lustig
Wenn ich besagtes in Gleichung (*) einsetze, erhalte ich $\begin{eqnarray*} p_{i}(a_{k})=\lambda _{i} \end{eqnarray*}$

wahrscheinlich ein Schreibfehler - es sollte $\begin{eqnarray*} p(a_k)=\lambda_k \end{eqnarray*}$ sein

Zitat:

Dann überprüfe ich auf lineare unabhängigkeit. und erhalte damit, dass alle
$\begin{eqnarray*} p_{i} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind. da außerdem dim span(p0, ..., pn) = n + 1 ist und wir n+1 linear unabhängige Polynome haben, bildet span(p0,..., pn) eine Basis (nach einem Satz aus der Vorlesung). Da auch die Dimension der rechten Seite n+1 ist, folgt wiederum nach einem Satz aus der Vorlesung schließlich die Gleichheit beider Seiten.

ja, das ist eine andere Lösungsvariante. (dh du hast dann in obiger Gleichung (*) auf der linken Seite das Nullpolynom anstelle von $\begin{eqnarray*} p(x) \end{eqnarray*}$ )

26.11.2012, 20:58

Peter Lustig

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Ja war ein Schreibfehler Augenzwinkern

Augenzwinkern

Vielen Dank für deine Hilfe smile

smile

Für die "andere Möglichkeit" fällt mir jetzt auf die Schnelle nichts ein, aber es langt ja glücklicherweise eine smile

smile

26.11.2012, 21:08

EinGast

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ok - die andere Variante wäre, dass man nun zeigt, dass
$\begin{eqnarray*} p(x)=\sum_{i=0}^n p(a_i)p_i(x) \end{eqnarray*}$
Das gilt, da beide Seiten ein Polynom vom Grad höchstens n sind, und sie stimmen in den $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ Punkten $\begin{eqnarray*} a_0,\dots,a_n \end{eqnarray*}$ überein. Daher müssen beide Polynome gleich sein, da ein von 0 verschiedenes Polynom höchstens so viele Nullstellen hat wie der Grad.

26.11.2012, 21:17

Peter Lustig

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Das sieht natürlich irgendwie "eleganter" aus Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dazu haben wir allerdings keinen Satz im Skript, auf den ich mich beziehen könnte. Also werde ich wohl die erste Variante verwenden Augenzwinkern

Augenzwinkern

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