an welchem punkt konvergiert die folgende spirale

22.11.2012, 13:15

Hubbi

an welchem punkt konvergiert die folgende spirale

Meine Frage:
Es wird eine Spirale aus Halbkreisen konstruiert: An einem Halbkreis mit dem Radius 9,4 wird ein halb so großer Halbkreis angefügt, daran wieder ein halb so großer Kreis usw. die Enden aller Halbkreise liegen auf einer Geraden.

Die Spirale konvergiert in einem Punkt. Wie weit ist dieser Punkt vom Anfangspunkt der Spirale entfernt?

Meine Ideen:
ich habe im moment keinen lösungsvorschlag, weil ich mir nicht vorstellen kann, das eine folge in einem punkt konvertiert. q ist ja gleich 0,5. nur wie erhalte ich nun einen exakten punkt?

22.11.2012, 15:09

RavenOnJ

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RE: an welchem punkt konvergiert die folgende spirale

Zitat:

Original von Hubbi
..., das eine folge in einem punkt konvertiert.

Dass die Folge konvertiert, will ich nicht hoffen. Aber sie konvergiert, da bin ich sicher. Schau mal:

$\begin{eqnarray*} 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^{n} = ? \end{eqnarray*}$

Diese Reihe nennt man geometrische Reihe und sie konvergiert - solange das, was man potenziert, kleiner als 1 ist.

Allerdings schreibst du "Spirale", also meintest du vermutlich eher die Reihe

$\begin{eqnarray*} 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 \pm \cdots = \sum_{n=0}^\infty \left(-\frac{1}{2}\right)^{n} \end{eqnarray*}$

Die konvergiert erst recht.

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