Linear unabhängige Vektoren in einem K-Vektorraum

22.11.2012, 13:57

MatheNoobii

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Linear unabhängige Vektoren in einem K-Vektorraum

Es sei V ein K-Vektorraum und v1, v2, v3, v4 linear unabhängige Vektoren. Zeigen Sie:

a) u1:= v1+v2, u2:= v2+v3 und u3:= v3+v1 sind linear unabhängig.

b) w1:= v1+v2, w2:= v2+v3, w3:= v3+v4 und w4:= v4+v1 sind linear abhängig.

Meine Ideen:

Ich hab mir schon ewig Gedanken über diese Aufgabe gemacht, aber ich weiß nicht warum das so ist und wie ich es zeige. Ich brauche Tipps

22.11.2012, 14:57

Causal

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RE: Linear unabhöngige Vektoren in einem K-Vektorraum
Die Definiton kennst du aber?
Zeige bei a)

$\begin{eqnarray*} \alpha u_1 + \beta u_2 + \gamma u_3 = 0 \Rightarrow \alpha = \beta = \gamma = 0 \end{eqnarray*}$

Gruß, Causal

22.11.2012, 15:56

MatheNoobii

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RE: Linear unabhöngige Vektoren in einem K-Vektorraum
also so:
$\begin{eqnarray*} \alpha (v_1+v_2) + \beta (v_2+ v_3) + \gamma (v_3 + v_1) = 0 \Rightarrow \alpha = \beta = \gamma = 0 \end{eqnarray*}$

Aber wie komme ich jetzt weiter?

22.11.2012, 18:55

lgrizu

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RE: Linear unabhöngige Vektoren in einem K-Vektorraum
Ich mache hier mal weiter, weil Causal scheinbar offline ist.

Ich benutze allerdings lateinische Buchstaben.

Das das von dir postulierte folgt, ist zu zeigen.

Wir wissen:

$\begin{eqnarray*} a v_1+bv_2+cv_3=0 \Rightarrow a=b=c=d=0~(*) \end{eqnarray*}$

Nun betrachten wir die Linearkombination

$\begin{eqnarray*} \alpha(v_1+v_2)+\beta (v_2+v_3) + \gamma (v_3+v_1)=0 \end{eqnarray*}$

Fasse diese nun so zusammen, dass du einen Ausdruck in der Form von * hast.

22.11.2012, 19:20

Causal

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RE: Linear unabhöngige Vektoren in einem K-Vektorraum
Danke, ich musste ein Nickerchen machen Big Laugh

Big Laugh

mach du ruhig weiter Big Laugh

Big Laugh

Gruß, Causal

22.11.2012, 19:53

MatheNoobii

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RE: Linear unabhöngige Vektoren in einem K-Vektorraum
Hä? Wie soll das gehn?

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22.11.2012, 20:04

lgrizu

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RE: Linear unabhöngige Vektoren in einem K-Vektorraum
Na, multipliziere erst mal aus.

22.11.2012, 20:05

Causal

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RE: Linear unabhöngige Vektoren in einem K-Vektorraum
Fang mit dem ausmultiplizieren an und fasse im Anschaluss die Terme so wie in (*)
zusammen.

Oh, dachte du bist offline.

22.11.2012, 21:13

MatheNoobii

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RE: Linear unabhöngige Vektoren in einem K-Vektorraum
$\begin{eqnarray*} \alpha v_1+ \alpha v_2+\beta v_2+ \beta v_3 + \gamma v_3+ \gamma v_1=0 \Rightarrow \alpha = \beta =\gamma \end{eqnarray*}$

Und das jetzt so umformen?

$\begin{eqnarray*} \alpha v_1+ \beta v_2 + \gamma v_3+ \alpha v_2+\beta v_3 + \gamma v_1=0 \Rightarrow \alpha = \beta =\gamma \end{eqnarray*}$

22.11.2012, 21:30

lgrizu

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RE: Linear unabhöngige Vektoren in einem K-Vektorraum
Nun sortiere erst mal um.

22.11.2012, 21:40

MatheNoobii

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RE: Linear unabhängige Vektoren in einem K-Vektorraum
Achsoo jetzt weiß ich es!

$\begin{eqnarray*} \alpha v_1+ \gamma v_1+ \alpha v_2+ \beta v_2 + \gamma v_3+\beta v_3 + =0 \Rightarrow \alpha = \beta =\gamma \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_1 (\alpha + \gamma) + v_2 (\alpha + \beta) + v_3 (\gamma + \beta)= 0 \Rightarrow \alpha = \beta =\gamma \end{eqnarray*}$

So richtig? Big Laugh

Big Laugh

22.11.2012, 21:42

lgrizu

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RE: Linear unabhöngige Vektoren in einem K-Vektorraum
Na, dann mach mal vor....

22.11.2012, 21:50

MatheNoobii

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RE: Linear unabhöngige Vektoren in einem K-Vektorraum
$\begin{eqnarray*} v_1 (\alpha + \gamma) + v_2 (\alpha + \beta) + v_3 (\gamma + \beta)= 0 \Rightarrow \alpha = \beta =\gamma \end{eqnarray*}$

Irgendwie seh ich jetzt schon, dass die wieder linear unabh. sind, aber ich weiß nicht wies weiter geht und wie ich das jetzt zeige.

22.11.2012, 22:05

lgrizu

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RE: Linear unabhöngige Vektoren in einem K-Vektorraum
Naja, nun wissen wir, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} \alpha + \gamma=a=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha + \beta=b=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \gamma + \beta=c=0 \end{eqnarray*}$

Nun kann man daraus schließen, dass $\begin{eqnarray*} \alpha=\beta= \gamma=0 \end{eqnarray*}$ ist?

22.11.2012, 22:13

MatheNoobii

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RE: Linear unabhöngige Vektoren in einem K-Vektorraum
Hey stimmt, das war ja einfach. Würd gern mal wissen, wo ich heute mein Hirn gelassen habe!

Dann gleich zur

b) $\begin{eqnarray*} a w_1+bw_2+cw_3+dw_4=0 \end{eqnarray*}$ (Diese sind linear abhängig. Ich will jetzt schreiben, dass diese Vektoren linear abhängig sind, d.h. a=b=c=d=0 ist nicht die einzige Lösung hierfür, oder? Aber wie schreibe ich das?

$\begin{eqnarray*} \alpha (v_1+v_2)+\beta (v_2+v_3)+\gamma (v_3+v_4)+\delta (v_4+v_1)=0 \Rightarrow \alpha=\beta=\gamma=\delta=0~(*) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_1(\alpha + \delta) + v_2(\alpha+\beta)+v_3 (\beta + \gamma) +v_4(\gamma + \delta) = 0 \end{eqnarray*}$

Und jetzt:

$\begin{eqnarray*} (\alpha + \delta)= a \Rightarrow \end{eqnarray*}$ (siehe oben) a=b=c=d=0 ist nicht die einzige Lösung!
$\begin{eqnarray*} (\alpha+\beta) = b <br /> (\beta + \gamma) =c <br /> (\gamma + \delta) = d \end{eqnarray*}$

Vom Inhalt her stimmt alles oder? Ist im Prinzip wie in der a) aber ich weiß noch nicht so ganz, wie ich das jetzt aufschreibe?

22.11.2012, 22:15

lgrizu

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RE: Linear unabhöngige Vektoren in einem K-Vektorraum
Selbe herangehensweise.......

22.11.2012, 22:33

MatheNoobii

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RE: Linear unabhöngige Vektoren in einem K-Vektorraum

Zitat:

Original von lgrizu
Ich mache hier mal weiter, weil Causal scheinbar offline ist.

Ich benutze allerdings lateinische Buchstaben.

Das das von dir postulierte folgt, ist zu zeigen.

Wir wissen:

$\begin{eqnarray*} a v_1+bv_2+cv_3=0 \Rightarrow a=b=c=d=0~(*) \end{eqnarray*}$

Nun betrachten wir die Linearkombination

$\begin{eqnarray*} \alpha(v_1+v_2)+\beta (v_2+v_3) + \gamma (v_3+v_1)=0 \end{eqnarray*}$

Fasse diese nun so zusammen, dass du einen Ausdruck in der Form von * hast.

Aber hättest du in dieser Zeile nicht $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ einsetzen müssen?

So:
$\begin{eqnarray*} a u_1+bu_2+cu_3=0 \Rightarrow a=b=c=d=0~(*) \end{eqnarray*}$

22.11.2012, 22:33

lgrizu

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RE: Linear unabhöngige Vektoren in einem K-Vektorraum

Zitat:

Original von MatheNoobii

Und jetzt:

$\begin{eqnarray*} (\alpha + \delta)= a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (\alpha+\beta) = b <br /> (\beta + \gamma) =c <br /> (\gamma + \delta) = d \end{eqnarray*}$

Okay, das ist richtig, ferner wissen wir, dass a=b=c=d=0 gilt, also erhalten wir ein LGS, wenn wir die linken Seiten jeweil 0 setzen.

Edit: Und was sollte der letzte Post? verwirrt

verwirrt

22.11.2012, 22:36

MatheNoobii

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RE: Linear unabhöngige Vektoren in einem K-Vektorraum
Welchen meinst du?

22.11.2012, 22:38

MatheNoobii

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RE: Linear unabhöngige Vektoren in einem K-Vektorraum
Ich habe bei
b) $\begin{eqnarray*} a w_1+bw_2+cw_3+dw_4=0 \Rightarrow w \end{eqnarray*}$ verwendet. Du hast aber jedesmal $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ verwendet. Hättest du an der Stelle bei a) nicht $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ verwenden müssen? So wie in der Angabe?

22.11.2012, 22:40

lgrizu

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RE: Linear unabhöngige Vektoren in einem K-Vektorraum
Nö, dann hätte ich ja das, was zu zeigen ist vorausgesetzt.

Also noch mal von Anfang an:

Es sei V ein K-Vektorraum und v1, v2, v3, v4 linear unabhängige Vektoren.

Das bedeutet doch, dass

$\begin{eqnarray*} a v_1+bv_2+cv_3=0 \Rightarrow a=b=c=d=0~(*) \end{eqnarray*}$ .

Das wissen wir also.

Zeigen Sie:a) u1:= v1+v2, u2:= v2+v3 und u3:= v3+v1 sind linear unabhängig.

Das sollen wir zeigen. Wieso sollte ich das also voraussetzen?

22.11.2012, 22:49

MatheNoobii

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RE: Linear unabhöngige Vektoren in einem K-Vektorraum
Stimmt und schon verstanden!

22.11.2012, 22:53

MatheNoobii

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RE: Linear unabhängige Vektoren in einem K-Vektorraum
Schau nochmal bei : Basis vom Durchschnitt von 2 Untermengen

Jetzt passt es nämlich!

22.11.2012, 23:01

MatheNoobii

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RE: Linear unabhängige Vektoren in einem K-Vektorraum
Also nochmal die b)

$\begin{eqnarray*} a v_1+bv_2+cv_3+dv_4=0 \Rightarrow a=b=c=d=0~(*) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha (v_1+v_2)+\beta (v_2+v_3)+\gamma (v_3+v_4)+\delta (v_4+v_1)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_1(\alpha + \delta) + v_2(\alpha+\beta)+v_3 (\beta + \gamma) +v_4(\gamma + \delta) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\alpha + \delta)= a<br /> (\alpha+\beta) = b <br /> (\beta + \gamma) =c <br /> (\gamma + \delta) = d <br /> \Rightarrow a=b=c=d=0~(*) wie oben<br /> \end{eqnarray*}$
Wo ist jetzt der Fehler?Ah hab ihn! Kann ich jetzt sagen:

Setze $\begin{eqnarray*} \alpha = 1 \Rightarrow \delta = -1 \Rightarrow \gamma = 1 \Rightarrow \beta = -1 \end{eqnarray*}$

Somit ist alpha = beta = gamma = delta = 0 nicht die einzige Lösung

23.11.2012, 08:28

lgrizu

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RE: Linear unabhängige Vektoren in einem K-Vektorraum
Kann man so machen, oder allgemein existiert die Lösung:

$\begin{eqnarray*} \beta= \delta \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \gamma = - \delta \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha= - \delta \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} \delta \in \mathbb K \end{eqnarray*}$ beliebig.

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