Grenzwert einer Folge

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22.11.2012, 14:43	MatheNoobii	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert einer Folge Aufgabe: Für die Folge $\begin{eqnarray} (a_k)_{k \in \mathbb N} \end{eqnarray}$ definiert durch $\begin{eqnarray} a_k:= \frac{k-1}{k^3+k^2+2} \end{eqnarray}$ bestimme man den Grenzwert $\begin{eqnarray} x \in \mathbb R \end{eqnarray}$ und zu jedem $\begin{eqnarray} \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ eine Schranke $\begin{eqnarray} m_{\epsilon} \in \mathbb N \end{eqnarray}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray} k \geq m_{\epsilon} \end{eqnarray}$ gilt, dass $\begin{eqnarray} \| x_k -x \| < \epsilon \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Diese Folge ist streng monoton fallend, da $\begin{eqnarray} \forall _{k \in \mathbb B} a_k > a_{k+1} \end{eqnarray}$ Oder sagt man hier: $\begin{eqnarray} \forall _{k \in \mathbb B} a_k < a_{k-1} \end{eqnarray}$ . Ist das richtig? Aber für $\begin{eqnarray} (k = 1 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} a_k = 0) < (a_k \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} k =2) \end{eqnarray}$ . Danach passt es wieder : $\begin{eqnarray} a_2 > a_3 > a_4 \end{eqnarray}$ usw... Ist sie dennoch streng monoton fallend? Weiter: Diese monotone Zahlenfolge konvergiert, da sie nach oben (für k =2) und nach unten(für k = unendlich,geht gegen 0) beschränkt ist. Ist das richtig? Aber wie bestimme ich nun den Grenzwert? Und wie die Schranke m?
22.11.2012, 14:57	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert Null sollte eigentlich klar sein, wenn du auch nur einigermaßen über die Anfänge der Grenzwertrechnung hinweg bist. Für alle $\begin{eqnarray} k\geq 1 \end{eqnarray}$ ist nun $\begin{eqnarray} a_k \end{eqnarray}$ nichtnegativ, und man kann überdies abschätzen $\begin{eqnarray} a_k < \frac{k}{k^3} = \frac{1}{k^2}\qquad () \end{eqnarray}$ . Jetzt wählt man $\begin{eqnarray} m_{\varepsilon} \end{eqnarray}$ praktischerweise so, dass bereits die rechte Seite von () $\begin{eqnarray} \leq\varepsilon \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} k\geq m_{\varepsilon} \end{eqnarray}$ ist. Das ist einfach besser "aufzulösen" als das kompliziertere $\begin{eqnarray} \frac{k-1}{k^3+k^2+2} < \varepsilon \end{eqnarray}$ . P.S.: "Die" Schranke gibt es nicht, es wird nur gefordert "eine" Schranke anzugeben. Die ist durchaus nicht eindeutig, und man kann sich das Leben da eben einfacher machen.
22.11.2012, 16:29	MatheNoobii	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe hier von noch ca nichts. Warum kann das abschätzen: $\begin{eqnarray} a_k < \frac{k}{k^3} = \frac{1}{k^2}\qquad () \end{eqnarray*}$ ??? Und wie wähl ich jetzt ein m? Ich bin bei 0.
22.11.2012, 16:39	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Wegen $\begin{eqnarray} 0\leq k-1<k \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} k^3+k^2+2 > k^3 > 0 \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \frac{k-1}{k^3+k^2+2} \leq \frac{k-1}{k^3} < \frac{k}{k^3} \end{eqnarray}$ d.h. erst wird der positive Nenner durch eine kleinere positive Zahl ersetzt, was den Gesamtbruch größer macht. Und anschließend wird der Zähler bei gleichbleibenden Nenner durch einen größeren Zähler ersetzt, was ebenfalls wieder den Gesamtbruch größer macht. Triviale Bruchumformungen eben.
22.11.2012, 16:58	MatheNoobii	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh ja das leuchtet mir jetzt ein. Jetzt wählt man m so, dass bereits die rechte Seite von () $\begin{eqnarray} \leq\varepsilon \end{eqnarray*}$ , dann ist es die linke ja erst recht. Aber ich versteh immer noch nicht, wie ich jetzt ein m wähle?
22.11.2012, 17:15	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es kann nicht so schwer sein, die jetzt anstehende Ungleichung $\begin{eqnarray} \frac{1}{k^2} \leq \varepsilon \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ umzuformen.
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22.11.2012, 17:37	MatheNoobii	Auf diesen Beitrag antworten »
So : $\begin{eqnarray} k \leq \sqrt{\frac{1}{\epsilon} } \end{eqnarray}$
22.11.2012, 19:27	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist das nun nur ein Schreibfehler, oder fundamentales Unverständnis? Natürlich muss es $\begin{eqnarray} k \geq \sqrt{\frac{1}{\epsilon}} \end{eqnarray}$ denn das ist es ja, was Konvergenz bedeutet: Die Ungleichung muss ab einem gewissen Index für alle größeren $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ gelten. Hier würde man dann also $\begin{eqnarray} m_{\varepsilon} = \left\lceil \sqrt{\frac{1}{\epsilon}} \right\rceil \end{eqnarray}$ wählen, wobei $\begin{eqnarray} \lceil \ldots \rceil \end{eqnarray}$ die Aufrundungsfunktion ist.
22.11.2012, 19:41	MatheNoobii	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh es muss natürlich so rum sein. Das habe ich verstanden, hab das nur vertauscht... Es soll ja für alle $\begin{eqnarray} k \geq m_{\epsilon} \end{eqnarray}$ gelten...
22.11.2012, 19:43	MatheNoobii	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, dass der Grenzwert 0 ist, ist ja von vorne rein klar, da $\begin{eqnarray} k^3 \end{eqnarray}$ im Nenner steht. Aber wie beweise ich das jetzt? Kann ich einfach für k = unendlich setzen?

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