Betrag als Äquivalenzumformung

22.11.2012, 17:31

ulla123

Betrag als Äquivalenzumformung

Meine Frage:
Hallo liebe Mathematiker!

Ich muss $\begin{eqnarray*} | arctanx - arctany | \geq | x-y | \end{eqnarray*}$ beweisen.

Nun hab ich schon folgende Ungleichung mit dem Mittelwertsatz hergeleitet:

$\begin{eqnarray*} arctanx - arctany \geq x-y \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Meine Frage ist jetzt: kann ich einfach auf beiden Seiten der Gleichung den Betrag nehmen und bin dann fertig? Ist "Betrag nehmen" überhaupt eine Äquivalenzumformung??

Liebe Grüße

22.11.2012, 17:58

Alive-and-well

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$\begin{eqnarray*} -4 < 3<br /> \Leftrightarrow |-4| < |3|<br /> \Leftrightarrow 4<3 \end{eqnarray*}$

ist das eine Äquivalente Umformung?

23.11.2012, 14:01

ulla123

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Vielen Dank erst mal für deine Antwort! Also kann ich den Betrag nicht einfach so setzen. Das sah schon so gut aus, wie soll ich denn dann weitermachen? Gegeben ist noch, dass x,y Elemente aus R sind, aber das hilft mir jetzt auch nicht weiter....
Ich werde aus diesen Beträgen einfach nicht schlau. Kann es sein, dass man bei Differenzen dann einfach den Betrag setzen kann?

23.11.2012, 14:24

Alive-and-well

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RE: Betrag als Äquivalenzumformung

Zitat:

Original von ulla123
Nun hab ich schon folgende Ungleichung mit dem Mittelwertsatz hergeleitet:

$\begin{eqnarray*} arctanx - arctany \geq x-y \end{eqnarray*}$

Wähle x = 15, y = -16

Rechte Seite:
$\begin{eqnarray*} 15 - (-16) = 31 \end{eqnarray*}$
Linke Seite:
$\begin{eqnarray*} arctan(15) - arctan(-16) = arctan(15) + arctan(16) < 2 * \frac{\pi}{2} < 31 \end{eqnarray*}$

Da hast du dich wohl vertan.

Was mein Beispiel für deinen Aufgabe kannst du dir ja auch mal überlegen.

23.11.2012, 16:41

ulla123

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RE: Betrag als Äquivalenzumformung
oh mann... jetzt versteh ich gar nix mehr...

ich dachte es gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{arctanx - arctany}{x-y} = \frac{1}{1+c^{2} } ... also... arctanx-arctany = \frac{1}{1+c^{2} } * (x-y). ...Weil...aber ...\frac{1}{1+c^{2} }\leq 1 ...ist, gilt.... arctanx-arctany \geq x-y \end{eqnarray*}$

ist der ansatz so falsch??

23.11.2012, 17:55

Alive-and-well

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Es gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac {f(x) -f(y)}{x-y} = \frac {1}{1+c^2}<br /> \Leftrightarrow f(x) -f(y) = \frac {1}{1+c^2} (x-y) \end{eqnarray*}$

Nur weil $\begin{eqnarray*} 0<\frac {1}{1+c^2} <= 1 \end{eqnarray*}$ ist, stimmt die Gleichung doch immer noch. Warum sollte aus der Gleichheit denn plötzlich eine Ungleichheit werden?

23.11.2012, 18:30

ulla123

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ich multipliziere ja x-y mit etwas kleiner als eins. wenn ich das also weglasse, bleibt es ja sozusagen größer, daher das ungleichheitszeichen.

23.11.2012, 18:34

ulla123

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da fällt mir grad auf, dass ich das ungleichheitszeichen genau falsch herum habe... es sollte eigentlich $\begin{eqnarray*} arctanx - arctany \leq x-y \end{eqnarray*}$ heißen.

23.11.2012, 18:35

Alive-and-well

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Zitat:

Original von ulla123
da fällt mir grad auf, dass ich das ungleichheitszeichen genau falsch herum habe... es sollte eigentlich $\begin{eqnarray*} arctanx - arctany \leq x-y \end{eqnarray*}$ heißen.

das ist wohl wahr

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