Nullfolge*Beschränkte Folge = Nullfolge

22.11.2012, 18:14

mathematik93

Nullfolge*Beschränkte Folge = Nullfolge

Halllo,
ich habe das folgende Problem,
Ich habe eine Aufgabe erhalten, aber weiß nicht wie ich vorgehen soll.

Sie lautet:
a) Sei a_n eine Nullfolge und b_n eine beschränkte Folge in R oder C.
Zeigen Sie das das Produkt a_n * b_n ebenfalls eine Nullfolge ist.

An sich ist mir klar das eine Beschränkte Folge nicht über einen Bestimmten wert M kommt also dieser Wert M konstant ist.
Wenn man was konstantes mit etwas multipliziert,was immer kleiner wird, wird das ergebnis auch immer kleiner bis es irgendwann null ist ....

b) Zeigen Sie durch ein Beispiel,dass auf die Vorraussetzung b_n beschränkt nicht verzichtet werden kann ?

Wäre da zulässig :
$\begin{eqnarray*} a_n = 1/n \end{eqnarray*}$ als nullfolge und
$\begin{eqnarray*} b_n = n^2 \end{eqnarray*}$

Aber wie schreibe ich das Studiengerecht ?
Danke

22.11.2012, 18:31

Jello Biafra

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RE: Nullfolge*Beschränkte Folge = Nullfolge
Sei $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ beliebig.

$\begin{eqnarray*} \left(b_n\right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ ist beschränkt.

Also gibt es ein $\begin{eqnarray*} K>0\text{ mit }b_n<K \text{ für alle } n\in\mathbb N. \end{eqnarray*}$

Insbesondere gilt $\begin{eqnarray*} \bar{\varepsilon}:=\frac{\varepsilon}K>0 \end{eqnarray*}$

Also gibt es ein $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , so dass

$\begin{eqnarray*} |a_n|<\bar{\varepsilon}\text{ für alle }n\geq n_0. \end{eqnarray*}$

Somit folgt also:

$\begin{eqnarray*} \left|a_n\cdot b_n\right|<\ldots <\varepsilon\text{ für alle }n\geq n_0. \end{eqnarray*}$

22.11.2012, 21:45

Jello Biafra

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RE: Nullfolge*Beschränkte Folge = Nullfolge
Grad ist mir aufgefallen, dass ich die Betragsstriche vergessen habe.

So sollte es oben eigentlich stehen:

Zitat:

Original von Jello Biafra
Also gibt es ein $\begin{eqnarray*} K>0\text{ mit }|b_n|<K \text{ für alle } n\in\mathbb N. \end{eqnarray*}$

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