Lineare Unabhängigkeit (u, v, w) <=> Lineare Unabhängigkeit (u+v, u+w, v+w)

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donpain Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Unabhängigkeit (u, v, w) <=> Lineare Unabhängigkeit (u+v, u+w, v+w)
Guten Abend!

Ich habe mit folgender Aufgabe ein Problem:

Die Aufgabe:
Sei V ein K-Vektorraum über einem Körper K. Prüfen sie jeweils für K = und K = , ob die folgende Aussage wahr ist: Die Familie (u, v, w) ist genau dann linear unabhängig, wenn die Familie (u+v, u+w, v+w) linear unabhängig ist.
(Im Folgenden wird der Fall K=R betrachtet!)

Das Problem:
Also ich muss ja Äquivalenz zeigen.
(u, v, w) lin. unab. => (u+w, u+v, v+w) lin. unab. habe ich hinbekommen.


<=>

und da folgt .
Also (u+v, u+w, v+w) lin. unabhängig.

ABER: Ich komme nicht darauf, wie ich die Rückrichtung (u+w, u+v, v+w) lin. unab. => (u, v, w) lin. unab. hinbekomme. Ich habe auch hier versucht durch Termumformungen etwas zu erreichen, habe ich aber nicht hinbekommen. Dann habe ich versucht zu zeigen, dass u nicht im Spann(w,v), v nicht im Spann(u,w) und w nicht im Spann(u,v) liegt, aber darin habe ich keine Erfolgsaussichten gesehen. unglücklich

Über Ratschläge wäre ich sehr dankbar! Auch wenn in der Hinrichtung Denkfehler sein sollten, bitte ruhig ansprechen. smile

Grüße,
Marius
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabhängigkeit (u, v, w) <=> Lineare Unabhängigkeit (u+v, u+w, v+w)
Deine Argumentation für die eine Richtung wäre mir als Tutor zu kurz, es ist nicht ersichtlich, warum du das folgern darfst.....

Wenn du die Richtung sauber und ausführlich aufgeschrieben hast ergibt sich die Rückrichtung fast analog.
donpain Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabhängigkeit (u, v, w) <=> Lineare Unabhängigkeit (u+v, u+w, v+w)
Ja, okay, ich gebs zu: Ich war zu faul um meine ausführliche Ausarbeitung einzutippen! :P

Aber da ich nicht sehe, dass sich das analog ergibt, hier die ausführliche Variante:

"=>"
Sei .
Sei .
Sei .
Sei .

es gilt: ist linear abhängig
zu zeigen: ist linear abhängig

es gilt: , da sonst linear abhängig

muss gelten, damit linear unabhängig.


<=>
, da (und somit die Koeffizienten 0 sein müssen).

Und daraus folgt die lineare Unabhängigkeit von .
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabhängigkeit (u, v, w) <=> Lineare Unabhängigkeit (u+v, u+w, v+w)
Zitat:
Original von donpain

, da (und somit die Koeffizienten 0 sein müssen).

Und daraus folgt die lineare Unabhängigkeit von .


Das Ende noch ausführlicher, warum müssen die Koeffizienten verschwinden? Das ist auch der entscheidende Schritt für die Rückrichtung.

Diese funktioniert dann wirklich ganz analog....
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabhängigkeit (u, v, w) <=> Lineare Unabhängigkeit (u+v, u+w, v+w)
Zitat:
Original von donpain

es gilt: ist linear abhängig
zu zeigen: ist linear abhängig

es gilt: , da sonst linear abhängig



Irgendwie werde ich da nicht schlau draus. Ich dachte, du wolltest die lineare Unabhängigkeit zeigen? Warum fängst du auf einmal mit der Negation an?

Außerdem ist der letzte Satz einfach falsch. Die u,v, w sind der Voraussetzung nach ungleich 0, das ist keine Schlussfolgerung. Und warum die ungleich 0 sein müssen, weil sie im Falle von =0 linear abhängig seien, ist mir etwas schleierhaft.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabhängigkeit (u, v, w) <=> Lineare Unabhängigkeit (u+v, u+w, v+w)
Da hat Raven recht, ist mir so nicht aufgefallen da ich auf das Ende fixiert gewesen bin, welches du immer noch nicht in ausreichendem Maße begründet hast.

Desweiteren verstehe ich auch nicht, warum du so erpicht darauf bist mit Quantoren um dich zu werfen, das ist bei dieser Aufgabe völlig unnötig.
 
 
donpain Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabhängigkeit (u, v, w) <=> Lineare Unabhängigkeit (u+v, u+w, v+w)
Ja, das macht natürlich keinen Sinn. Da habe ich mich vertippt. Das muss in beiden Fällen linear unabhängig heißen.

Die u,v,w müssen ungleich 0 sein, damit die Familie v linear unabhängig sein kann, da wenn eines der Elemente = 0 wäre, wäre die Familie ja nicht mehr linear unabhängig.

Tut mir Leid, dass soviel Verwirrung wegen dem Tippfehler hervorgerufen wurde. :S

Ich habe jetzt (beim Verfolgen des ähnlichen Threads, bei dem es jedoch nur um die Hinrichtung ging) kapiert, dass ich noch distributiv ausklammern muss.
Für die Rückrichtung habe ich per Kontraposition gezeigt, dass wenn v linear abhängig, dann z linear abhängig, das klappte vollkommen analog.

Und für K=Z2 habe ich erhalten, dass v lin. unab. => z lin. unab. nicht erfüllt ist (Kurzbegründung: da 1*(u+v)+1*(u+w)+1*(v+w)=u+v+u+w+v+w=0+0+0=0 sind) und somit die Äquivalenz logischerweise nicht gelten kann.

Danke für eure Mühe!
Grüße,
Marius
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabhängigkeit (u, v, w) <=> Lineare Unabhängigkeit (u+v, u+w, v+w)
Zitat:
Original von donpain
Ich habe jetzt (beim Verfolgen des ähnlichen Threads, bei dem es jedoch nur um die Hinrichtung ging) kapiert, dass ich noch distributiv ausklammern muss.


Und danach ist ein LGs zu lösen, wenn das der Thread ist, den ich auch betreut habe sollte das daraus deutlich hervorgehen.

Zitat:
Original von donpain
Für die Rückrichtung habe ich per Kontraposition gezeigt, dass wenn v linear abhängig, dann z linear abhängig, das klappte vollkommen analog.


Aber auch das geht direkt ziemlich schnell. Außerdem ist doch zu zeigen:

oder?

Die Kontraposition wäre dann:

, der Implikationspfeil dreht sich also um.

Aber ehrlich gesagt weiß ich auch nicht so genau, welche Menge du mit v und welche mit z bezeichnest.


Zitat:
Original von donpain
Und für K=Z2 habe ich erhalten, dass v lin. unab. => z lin. unab. nicht erfüllt ist (Kurzbegründung: da 1*(u+v)+1*(u+w)+1*(v+w)=u+v+u+w+v+w=0+0+0=0 sind) und somit die Äquivalenz logischerweise nicht gelten kann.


Hier weiß ich gar nicht, was ich dazu sagen soll, so dermaßen daneben ist das.

Wie kommst du denn darauf, dass das Tripel (Koordinatenvektor) (1,1,1) die einzige mögliche Linearkombination sein könnte, ws ist mit (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1), (1,0,0) etc. ?

aber wie gesagt: Dazu gehört am Schluss, ein LGs zu lösen, dieses kann man einmal über lösen und einmal über IR.
donpain Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabhängigkeit (u, v, w) <=> Lineare Unabhängigkeit (u+v, u+w, v+w)
Zitat:
Und danach ist ein LGs zu lösen, wenn das der Thread ist, den ich auch betreut habe sollte das daraus deutlich hervorgehen.

Okay, den Schritt habe ich jetzt ergänzt und verstanden. smile

Zitat:
Aber ehrlich gesagt weiß ich auch nicht so genau, welche Menge du mit v und welche mit z bezeichnest.

v ist die Familie (u,v,w) und z die Familie (u+v, u+w, v+w).

Zitat:
Aber auch das geht direkt ziemlich schnell. Außerdem ist doch zu zeigen:

oder?

Die Kontraposition wäre dann:

, der Implikationspfeil dreht sich also um.

Bei der Rückrichtung muss ich ja zeigen, dass aus z lin. unab. folgt, dass auch v lin. unab., also habe ich den Implikationspfeil ja umgedreht, wenn ich zeige: v lin. ab. => z lin. ab.

Für K=Z2 habe ich jetzt alles analog gemacht, bis zum lösen des LGS und das LGS dann, wie du gesagt hast, über Z2 gelöst und dann erhalten, dass lediglich alle Koeffizienten gleich sein müssen, also zwei Fälle das LGS lösen: Alle Koeffizienten = 0 und alle Koeffizienten = 1. Also folgt aus v lin. unab. nicht z lin. unab. und ich bin fertig.

Jetzt alles richtig?
smile
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabhängigkeit (u, v, w) <=> Lineare Unabhängigkeit (u+v, u+w, v+w)
Okay, jetzt habe ich dich endgültig verstanden.

Ist richtig, die Vektoren sind über linear abhängig, das LGS







besitzt also eine nicht triviale Lösung:

Die Richtung (u+v,u+w,v+w) sind linear unahängig => (u,v,w) sind linear unabhängig geht schnell folgendermaßen, die stelle ich dir noch mal kurz vor:



Ausmultiplizieren ergibt:



Mit a=b=c=0 ist dann auch a+b=b+c=a+c=0.

Und fertig.....
donpain Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabhängigkeit (u, v, w) <=> Lineare Unabhängigkeit (u+v, u+w, v+w)
Alles klar, hab alles verstanden!
Danke! smile
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