Mathe geometrische Summenformel - Frage endlich, unendlich

22.11.2012, 20:08

Katha1593

Mathe geometrische Summenformel - Frage endlich, unendlich

Meine Frage:
Guten Abend,

Komme mit einer Aufgabe nicht zurecht und zwar geht es um die geometrische Summenformel.

Meine erste Frage ist (hat nichts mit dem eigentlichen Thema zu tun):

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}-(\frac{2}{3})^{n-2} = \frac{2}{3}-(\frac{2}{3})^{n-1} \end{eqnarray*}$

Sehe ich das richtig, dass die Potenz n-2 zu n-1 wird, weil sie praktisch mit der Potenz ^1 multipliziert wird? Also einfach Potenzregel?

Und nun mein eigentliches Problem:

Habe die Aufgabe
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^{n-1} \frac{(-2)^{i-1}}{3^{i}} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich bin jetzt soweit:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^{n-1} \frac{(-2)^{i-1}}{3^{i}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}*\sum\limits_{k=2}^{n-1} (-\frac{2}{3})^{i} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}*\sum\limits_{k=0}^{n-3} (-\frac{2}{3})^{i+2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}*\frac{4}{9}*\sum\limits_{k=0}^{n-3} (-\frac{2}{3})^{i} = -\frac{2}{9}*\sum\limits_{k=0}^{n-3} (-\frac{2}{3})^{i} \end{eqnarray*}$

Irgendwas müsste daran falsch sein, denn es haut anschließend mit der Summenformel nicht hin...

Wer kann mir einen richtigen Lösungsweg geben?

Vielen Dank

22.11.2012, 21:26

Jello Biafra

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RE: Mathe geometrische Summenformel - Frage endlich, unendlich

Zitat:

Original von Katha1593
Meine erste Frage ist (hat nichts mit dem eigentlichen Thema zu tun):

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}-(\frac{2}{3})^{n-2} = \frac{2}{3}-(\frac{2}{3})^{n-1} \end{eqnarray*}$

Das soll doch wohl eher so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \frac 23\left(1-\left(\frac 23\right)^{n-2}\right) = \frac 23-\left(\frac 23\right)^{n-1} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Katha1593
$\begin{eqnarray*} \ldots = -\frac 29\sum_{k=0}^{n-3} \left(-\frac{2}{3}\right)^k \end{eqnarray*}$

Wieso passt doch alles.

Und jetzt die geom. Summenformel drauf loslassen.

22.11.2012, 22:36

Katha1593

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Das wäre dann so:

$\begin{eqnarray*} (-\frac{2}{9})* \sum\limits_{k=0}^{n-3} (-\frac{2}{3})^{k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =(-\frac{2}{9})*\frac{1-(-\frac{2}{3})^{n+1-3}}{1-(-\frac{2}{3})} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =(-\frac{2}{9})*\frac{1-(-\frac{2}{3})^{n-2}}{\frac{5}{3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =(-\frac{2}{15})*(1-(-\frac{2}{3})^{n-2}) \end{eqnarray*}$

Wie geht es weiter??

22.11.2012, 22:47

Jello Biafra

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Zitat:

Original von Katha1593
...
Wie geht es weiter??

Gar nicht! Ist doch alles Roger soweit!

Höchstens $\begin{eqnarray*} =-\frac 2{15}-\frac 15\left(-\frac 23\right)^{n-1} \end{eqnarray*}$ könntest Du noch schreiben - aber wäre dann eher ne Geschmacksfrage.

Falls die Aufgabenstellung es vorsieht - oder Du einfach Lust dazu haben solltest - dann könntest Du jetzt noch ne Grenzwertbetrachtung dranhängen.

22.11.2012, 22:48

Katha1593

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Ja, das soll ich im 2ten Punkt machen, aber damit komme ich klar (:

Vielen Dank für deine Hilfe!!!

23.11.2012, 09:28

Katha1593

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habe noch eine Frage. Wo kommen denn die 1/5 her?