Division im Ring

22.11.2012, 22:05	Stefan1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Division im Ring Guten Abend, ich soll folgendes zeigen: R ist kommutativer Ring, $\begin{eqnarray} g \in R \end{eqnarray}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray} \forall i \in \mathbb N_0: \exists r \in R: r(g-1) = g^{i} -1 \end{eqnarray}$ So, ein bisschen rumprobieren ergibt bei mir, dass für g = 1 das r beliebig ist und für g != 1 gilt: $\begin{eqnarray} r = \frac{g^{i}-1 }{g-1} \end{eqnarray}$ Aber ein Ring hat ja kein inverses Element bei der Multiplikation. Kann meine Lösung also überhaupt stimmen oder muss ich anders vorgehen? Oder muss ich einfach nur nachweisen, dass der Bruch wieder in R ist? Lg Stefan
22.11.2012, 22:18	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Division im Ring Betrachte einmal $\begin{eqnarray} r=g^{i-1}+g^{i-2}+....+1 \end{eqnarray}$
23.11.2012, 12:08	Stefan1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, das passt Aber wie kommt man darauf? Kann man die Aufgabe irgendwie so umformen, dass man auf dein r = ... kommt oder muss man sowas einfach sehen?f
23.11.2012, 12:09	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich hab das jetzt gesehen, anhand der geometrischen Summenformel.
23.11.2012, 12:15	Stefan1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, danke! Und wie beweise ich, dass das jetzt das richtige r ist? Einfach einsetzen, oder? Dann kürzt sich ja alles bis auf den ersten und den letzten Term von $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^i g^{i-k} \end{eqnarray}$ raus, wenn man (g-1) dranmultipliziert => g^i - 1 kommt raus
23.11.2012, 12:25	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Dass es das richtige r ist sieht man durch ausmultiplizieren, dass es auch in dem Ring liegt durch die Ringeigenschaften. Edit: ich sehe allerdings noch nicht ganz, wofür man die Kommutativität des Ringes bezüglich der Multiplikation benötigt.
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