Summenformel

23.11.2012, 09:57

Umformung

Summenformel

Zu finden ist eine Formel für die Summe (von i=1 bis n) von n * (n+1) * (n-1)

Ich weiß, dass die Summe von n*(n-1) =
$\begin{eqnarray*} \frac{ n*(n+1)(n-1)}{3} \end{eqnarray*}$
ist.

Die Summe von (n+1)

Ich weiß, dass die Summe von "n" =
$\begin{eqnarray*} \frac{n*(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$
ist.

Aber von n+1?
_ _ _ _ _ _

Durch Überlegen und Probieren komme ich darauf, dass die Summe von (n+1) dasselbe ist wie
die Summe von "n" + die Zahl n.
(Beweis??Herleitung??)

Folglich ergibt sich für obige Aufgabenstellung:
Summe aus ... =
$\begin{eqnarray*} \frac{n*(n+1)(n-1)}{3} * [\frac{n*(n+1)}{2} + n] \end{eqnarray*}$

Wie forme ich dies geeignet um?

$\begin{eqnarray*} n^2(n+1)(n-1)(n+3) \end{eqnarray*}$
?

23.11.2012, 11:09

Kasen75

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Hallo,

ich nehme mal kurz an deine Annahmen stimmen. Du hast am Ende das hier stehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{n*(n+1)(n-1)}{3} * [\frac{n*(n+1)}{2} + n] \end{eqnarray*}$

Das wäre ja gleichbedeutend mit:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n i \cdot (i-1) \cdot \sum_{i=1}^n (i+1) \end{eqnarray*}$

was aber

$\begin{eqnarray*} \neq \sum_{i=1}^n i \cdot (i-1) \cdot (i+1) \end{eqnarray*}$ ist.

Ich würde eher versuchen den Ausdruck hinter dem Summenzeichen zu vereinfachen:
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n i * (i+1) * (i-1) \end{eqnarray*}$

Da kann man ja ausmultiplizieren.

Mit freundlichen Grüßen.

23.11.2012, 11:22

HAL 9000

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Zitat:

Original von Umformung
Zu finden ist eine Formel für die Summe (von i=1 bis n) von n * (n+1) * (n-1)

Nichts leichter als das:

Da der Summand nicht vom Summenindex i abhängt, muss man nur zählen, wieviel Summanden diese Summe enthält, das sind $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , folglich ist

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n n(n+1)(n-1) = n\cdot n(n+1)(n-1) = n^2(n^2-1) \end{eqnarray*}$ .

---------------------

Sollte es dir hingegen um $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n i(i+1)(i-1) \end{eqnarray*}$ gehen, dann hilft das:

Aus $\begin{eqnarray*} \binom{n}{m} + \binom{n}{m+1} = \binom{n+1}{m+1} \end{eqnarray*}$ (siehe Pascalsches Dreieck) lässt sich für alle nichtnegativen ganzen Zahlen $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ die Summenformel

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^n \binom{i}{m} = \binom{n+1}{m+1} \end{eqnarray*}$

entwickeln. Für $\begin{eqnarray*} m=3 \end{eqnarray*}$ ist das (fast) schon das, was du benötigst, es ist lediglich noch eine kleine Indexverschiebung nötig...

23.11.2012, 12:13

Umformung

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Umformung
Zu finden ist eine Formel für die Summe (von i=1 bis n) von n * (n+1) * (n-1)

Super Sache. Vielen Dank!

Bei folgender Aufgabe ist dann der Summan auch nicht vom Summenindex i abhängig:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n n*(n-1) = n * (n^2 - n) = n^3 - n^2 \end{eqnarray*}$

Was aber offenbar falsch ist, bsp.: n = 3:

0*(-1) + 1*(0) + 2*(1) + 3*(2) = 8.

23.11.2012, 12:25

Umformung

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Zitat:

Original von Kasen75
Hallo,

ich nehme mal kurz an deine Annahmen stimmen. Du hast am Ende das hier stehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{n*(n+1)(n-1)}{3} * [\frac{n*(n+1)}{2} + n] \end{eqnarray*}$

Das wäre ja gleichbedeutend mit:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n i \cdot (i-1) \cdot \sum_{i=1}^n (i+1) \end{eqnarray*}$

was aber

$\begin{eqnarray*} \neq \sum_{i=1}^n i \cdot (i-1) \cdot (i+1) \end{eqnarray*}$ ist.

Ich würde eher versuchen den Ausdruck hinter dem Summenzeichen zu vereinfachen:
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n i * (i+1) * (i-1) \end{eqnarray*}$

Da kann man ja ausmultiplizieren.

Mit freundlichen Grüßen.

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n i*(i^2 - 1) \end{eqnarray*}$

Und was kann ich dann damit machen?

(Rechnen mit Binomialkoeffizienten soll bei dieser Aufgabe nicht angewandt werden)

23.11.2012, 13:10

HAL 9000

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Zitat:

Original von Umformung
(Rechnen mit Binomialkoeffizienten soll bei dieser Aufgabe nicht angewandt werden)

Hast du jetzt spontan so festgelegt, oder sagt wer? Dann sind wahrscheinlich auch Teleskopsummen verboten, o.ä. Unsinns-Festlegungen.

23.11.2012, 13:35

Umformung

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Das habe ich festgelegt, da es noch nicht behandelt wurde und somit bei der Lösung nicht angewandt werden "darf".

23.11.2012, 13:53

HAL 9000

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Na wenn (ohne Binomialkoeffizienten geschrieben) das längliche

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^n i(i-1)\cdot \ldots \cdot (i-m+1) = \frac{1}{m+1} (n+1)n(n-1)\cdot \ldots \cdot (n-m+1) \end{eqnarray*}$

verständlicher sein soll, dann bitte.

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