Sandwich-Satz

23.11.2012, 14:18	herp	Auf diesen Beitrag antworten »
Sandwich-Satz Meine Frage: Unser Prof. hat letztens ein Bsp. vorgerrechnet. Nur kann ich irgendwie seine Schritte nicht ganz nachvollziehen... $\begin{eqnarray} f(x)= x- \left[x\right] <br /> <br /> \left[x\right]= max\left\{k\in Z:k\leq x\right\} \end{eqnarray}$ Verwenden Sie den Sandwich-Satz um folgenden Grenzwert zu berechnen: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} x\times f(\frac{1}{x} ) \end{eqnarray}$ Nun ist er folgendermaßen vorgegangen: $\begin{eqnarray} x\times f(\frac{1}{x} )=h(x)=x\times \left(\frac{1}{x} -\frac{1}{\left[x\right] } \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =1-x\times \frac{1}{\left[x\right]} \end{eqnarray}$ dann wirds komisch.. $\begin{eqnarray} h'(x)=x\times \frac{1}{\left[x\right]} \end{eqnarray}$ was ist mit der 1? dann schätzt er ab um die zwei Funktionen für den Sandwich-satz zu finden: $\begin{eqnarray} \left[x\right]\leq x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \left[x\right]\geq x-1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \frac{1}{\left[x\right]}\leq \frac{1}{x} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{1}{\left[x\right]}\geq \frac{1}{x}-1 \end{eqnarray}$ wie das den?! $\begin{eqnarray} \Rightarrow \frac{1}{x}-1\leq \frac{1}{\left[x\right]}\leq\frac{1}{x} \end{eqnarray}$ ... $\begin{eqnarray} /\times x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1-x\leq x\times \frac{1}{\left[x\right]}\leq1 \end{eqnarray}$ und nun einfach Sandwich-Satz und fertig.. $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} x\times \frac{1}{\left[x\right]}= 1 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Also: 1. Warum kann die 1 bei h'(x) vernachlässigt werden? 2. warum ist $\begin{eqnarray} \frac{1}{\left[x\right]}\leq \frac{1}{x} \end{eqnarray}$ oder muss ich mit $\begin{eqnarray} \left[\frac{1}{x} \right] \end{eqnarray}$ rechen? take this potatoe
23.11.2012, 15:15	Jello Biafra	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sandwich-Satz Hmh, Deine Ausführungen sind voller Unstimmigkeiten. Ich gehe daher nur auf die Aufgabenstellung ein. Zunächst gilt nach Definition offenbar $\begin{eqnarray} x-1<[x]\leq x\text{ für alle }x\in\mathbb R. \end{eqnarray}$ Also gilt insbesondere $\begin{eqnarray} (\text{für }x>0): \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac 1x - 1<\left[\frac 1x\right]\leq \frac 1x~\Longrightarrow 1-x<x\left[\frac 1x\right]\leq 1. \end{eqnarray}$ Und daraus folgt schließlich: $\begin{eqnarray} \lim_{x\to 0}x\left[\frac 1x\right]=1. \end{eqnarray}$
23.11.2012, 16:21	herp	Auf diesen Beitrag antworten »
da stimm ich dir vool und ganz zu, dass hier einiges nicht stimmt. Darum auch meine Verwunderung und Ungläubigkeit, dass an einer Uni so etwas vorgetragen wird hm genau so sehe ich das auch .. also danke mal für die Bestätigung, dass ich noch nicht ganz verblöodet bin werd ich wohl nächstes Seminar ein ernstes wörtchen mit dem Prof reden

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