zu Keplers Fassregel

10.02.2007, 11:24

Genix88

zu Keplers Fassregel

Hallo zusammen, einige von euch kennen bestimmt die keplersche Fassregel, die Fassregel, die Kepler entwickelt hat nach seiner Hochzeit, weil er von der Messmethode des Weinverkäufers schockiert war. Der Weinverkäufer bestimmt alle Fässer, egal welche Form diese hatten mit Hilfe eines Stabes, den er duch das Spundloch hineinführte, um das Volumen zu bestimmen. Diese Messmethode ist aber nur zulässig für eine ganz bestimmte sorte von Fass und zwar für ein Fass (kann man sich als Zylinder denken) dessen Basisdurchmesser sich zur Höhe wie $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} : 1 \end{eqnarray*}$

Das soll ich nun beweisen.

Dann fang ich mal an damit:

DAs Voumen $\begin{eqnarray*} V=\pi \cdot(\frac{d}{2})^{2} \cdot h \end{eqnarray*}$ (für das Halbe Fass) ist unter der Nebenbedingung $\begin{eqnarray*} s²=h²+d² \end{eqnarray*}$ (s fest) zu maximieren. Das führt zur Zielfunktion
$\begin{eqnarray*} V(h)=\frac{\pi }{4}\cdot h\cdot ( s^{2}- h^{2} ) \end{eqnarray*}$

mit der Ableitung
$\begin{eqnarray*} V'(h)=\frac{\pi}{4} \cdot (-3h^{2}+s^{2}) \end{eqnarray*}$
Die gesuchte Nullstelle von V' ist $\begin{eqnarray*} h=\frac{1}{\sqrt{3} } s \end{eqnarray*}$
was zu $\begin{eqnarray*} d=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} s \end{eqnarray*}$ führt. Also ist in der Tat für den optimalen Zylinder $\begin{eqnarray*} d:h = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}: 1 \end{eqnarray*}$ . Das maximale Volumen des ganzen FAsses ist dann durch die Visierrutenlänge s bestimmt über die Fromel $\begin{eqnarray*} V=\frac{\pi }{9} \sqrt{3} s^{3} = 0,6 s³ \end{eqnarray*}$ .

Also ich verstehe jetzt nicht wie die nach der Extremstelle auf dieses $\begin{eqnarray*} d=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} s \end{eqnarray*}$ kommen und das dann weiterführen zu $\begin{eqnarray*} d:h = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}: 1 \end{eqnarray*}$

Diese Herleitung habe ich aus einen Buch, wäre echt nett von euch wenn ihr mir hier weiterheflen könntet!

edit (Abakus): Latex

10.02.2007, 13:25

Abakus

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RE: zu Keplers Fassregel

Zitat:

Original von Genix88
Dann fang ich mal an damit:

DAs Voumen $\begin{eqnarray*} V=\pi \cdot(\frac{d}{2})^{2} \cdot h \end{eqnarray*}$ (für das Halbe Fass) ist unter der Nebenbedingung $\begin{eqnarray*} s²=h²+d² \end{eqnarray*}$ (s fest) zu maximieren. Das führt zur Zielfunktion
$\begin{eqnarray*} V(h)=\frac{\pi }{4}\cdot h\cdot ( s^{2}- h^{2} ) \end{eqnarray*}$

Wenn du h ausgerechnet hast, kannst du über die Nebenbedinung d ausrechnen.

Ich hab allerdings Probleme woanders: wie kommt man von der Fassgeschichte auf diese Extremwertaufgabe ?

Grüße Abakus smile

10.02.2007, 13:39

Genix88

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man kommt dadrauf, weil ja dieser Küfer, der die Fassinhalte ausgerechnet hat immer dieselbe methode angewendet hat. der kepler fand diese methode ja fragwürdig, hat sich jedoch gefragt, bei welcher optimalen Form diese methode aufgeht. Er überlegte "Wenn das FAss so gebaut ist, dass bei gegebener Visierrutenlänge sein Voumen maximal ist, so werden kleine Abweichungen von dieser Form das Fassungsvermögen kaum beeinflussen. Unter allen Zylindern mit gleichen Diagonalen ist derjeinige der größte, dessen Basisdurchmesser sich zur Höre verhält wie Wurzel aus 2 zu 1.

Dann kommt der ganze mist mit der Extremwertaufgabe...

verstehst du den hintergrund?

10.02.2007, 14:00

Abakus

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Zitat:

Original von Genix88
verstehst du den hintergrund?

So halbwegs. Fässer sind natürlich i.A. abgerundet und bauchig, hier werden einfach Zylinder betrachtet. Das ist schon ein Unterschied.

Die Frage ist auch, wie er denn mithilfe des Stabes den Fassinhalt nun genau bestimmt. Damit kann er die Höhe des Weinpegels messen und das reicht ihm dann ? Und außerdem hat er ja die Abmessungen des Fasses von außen, könnte also schon genauer rechnen.

Grüße Abakus smile

10.02.2007, 14:52

Genix88

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wir betrachten nur zylinder, weil es das selbe prinzip ist wie bei fässer (die bauchig sind) - dass man halt mit hilfe eines solchen stabes nicht den inhalt messen kann... den inhalt hat früher der weinverkäufer gemessen, in dem er den stab ins spundloch (auf der halben höhe) hineingeschoben bis zum Rand des Fasses. Dann kommt es an wie weißt dieser Stab hineingeschoben worden ist. dafür gibt es auch eine Formel die lautet: $\begin{eqnarray*} V=0,6^{3} \end{eqnarray*}$ ... das heißt wenn er also 50 cm den stab reinschieben konnte, so hat er ein volumen von 30 cm³... diese methode geht aber NUR wenn der wenn der Basisdurchmesser sich zur Höhe verhält wie $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}:1 \end{eqnarray*}$
und dieses war nur der Fall bei österreichischen Weinfässern. Also für diese Art von Fächern war diese Methode zuverlässig. Für andere Fässer hat dann Kepler seine Formel entwickelt.... konnte ich deine Frage beantworten?

10.02.2007, 15:00

Genix88

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jetzt habe ich aber auch noch ne frage an dich, und zwar um auf diese formel $\begin{eqnarray*} v=0,6s^{3} \end{eqnarray*}$ zu kommen, macht man ja diese Extremwertaufgabe...

mein erster eintrag hat ja ca die aufgaben beschrieben und führte zu der Formel:

$\begin{eqnarray*} V=\frac{\pi }{9} \cdot \sqrt{3} \cdot s^{3} \end{eqnarray*}$

wenn man das ausrechnet, kommt man auf die Formel V=0,6s³

aber wie kommen die auf diese Formel (2 zeilen drüber)??

ich bin schon die ganze zeit am hin und her rechnen und setze d und h ein und weiß der kuck kuck aber ich kommt immer nur auf:

$\begin{eqnarray*} V=\frac{\pi }{3} \cdot \sqrt{3} \cdot s^{3} \end{eqnarray*}$

(ich musste ja jetzt die höhe doppelt nehmen, weil wir ja zuvor nur das halbe fass betrachtet haben, ne?)
da kommt aber nicht das richtige raus!
wenn du das wissen solltest, schreibe mir doch bitte die herleitung auf, danke im vorraus!

10.02.2007, 15:55

Abakus

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RE: zu Keplers Fassregel

Zitat:

Original von Genix88
DAs Voumen $\begin{eqnarray*} V=\pi \cdot(\frac{d}{2})^{2} \cdot h \end{eqnarray*}$ (für das Halbe Fass) ist unter der Nebenbedingung $\begin{eqnarray*} s²=h²+d² \end{eqnarray*}$ (s fest) zu maximieren. Das führt zur Zielfunktion
$\begin{eqnarray*} V(h)=\frac{\pi }{4}\cdot h\cdot ( s^{2}- h^{2} ) \end{eqnarray*}$

Ich stecke noch bei deinen Bezeichnungen fest, also:

- d ist der Durchmesser des zylinderförmigen Fasses

- h ist die Höhe des Fasses

- d [EDIT: muss natürlich s heißen !] ist die Länge des Stabes, den du auf halber Höhe in das Fass steckst und bis zum gegenüberliegenden Rand (unten oder oben) schiebst.

Dann müsste erstmal gelten:

$\begin{eqnarray*} s^2 = d^2 + \left ( \frac{h}{2} \right )^2 \end{eqnarray*}$

Bei deiner Nebenbedingung steckst du den Stab vom Rand ganz oben in das Fass.

Grüße Abakus smile

10.02.2007, 16:09

Genix88

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ja richtig, nur:
- s ist die Länge des Stabes - war bestimmt nur ein tippfehler von dir!

10.02.2007, 16:33

Abakus

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Zitat:

Original von Genix88
ja richtig, nur:
- s ist die Länge des Stabes - war bestimmt nur ein tippfehler von dir!

Ja, es muss s heißen, richtig.

Jedenfalls kommst du mit dieser Nebenbedingung zu einer anderen Zielfunktion:

$\begin{eqnarray*} V(h) = \frac{\pi}{4} \cdot h \cdot d^2 = \frac{\pi}{4} \cdot h \cdot (s^2 - \frac{h^2}{4}) \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} V'(h) \stackrel{!}{=} 0 \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow h = \frac{2}{\sqrt 3} \cdot s \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du $\begin{eqnarray*} V(h) \end{eqnarray*}$ berechnen.

Grüße Abakus smile

10.02.2007, 17:03

Genix88

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mmh... irgendwie kommt das trotzdem nicht auf oder wir reden in manchen sachen aneinander vorbei. am besten wäre, wenn ich dir das alles mal schicken würde... (per e-mail) wenn das okay für dich ist

10.02.2007, 17:10

Abakus

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Ich setze einfach ein,

das ist meine Zielfunktion:

$\begin{eqnarray*} V(h) = \frac{\pi}{4} \cdot h \cdot (s^2 - \frac{h^2}{4}) \end{eqnarray*}$ ,

das ist die relevante Stelle:

$\begin{eqnarray*} h = \frac{2}{\sqrt 3} \cdot s \end{eqnarray*}$ .

Also:

$\begin{eqnarray*} V(h) = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt 3} \cdot s \cdot (s^2 - \frac{(\frac{2}{\sqrt 3} \cdot s)^2}{4}) = \frac{\pi}{3 \cdot \sqrt 3} \cdot s^3 \end{eqnarray*}$

Das ist doch genau das, was du gerne hättest ?

Grüße Abakus smile

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