Kann man DGLs 1. Ordnung partikulär auch mit f(2) oder f(5) berechnen?

23.11.2012, 17:02

nanoneo

Kann man DGLs 1. Ordnung partikulär auch mit f(2) oder f(5) berechnen?

hallo,

ich hab da eine frage. und zwar hab ich die aufgabe bekommen,

$\begin{eqnarray*} y'-2y=4 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y=f(2)=-274,99075 \end{eqnarray*}$

die partikuläre lösung mit

$\begin{eqnarray*} y=(f(2)+2)e^{2x}-2 \end{eqnarray*}$

erscheint mir insofern richtig, dass wenn ich das wieder ableite, es in die gegebene funktion eingebe dann 4=4 rauskommt.

nur steht in der lösung:
$\begin{eqnarray*} -5e^{2x}-2 \end{eqnarray*}$

was hab ich denn falsch gemacht? obwohl 4=4?

danke,
chris

23.11.2012, 17:17

HAL 9000

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Zitat:

Original von nanoneo
die partikuläre lösung mit

$\begin{eqnarray*} y=(f(2)+2)e^{2x}-2 \end{eqnarray*}$

Erstens: Offenbar redest du hier nicht von einer partikulären Lösung, sondern von der Lösung deines kompletten AWP.

Zweitens: Wie kommst du darauf, dass $\begin{eqnarray*} y = (f(2)+2)e^{2x}-2 \end{eqnarray*}$ diese Lösung sein könnte? Ein einfaches Einsetzen von x=2 zeigt, dass die Anfangsbedingung nicht erfüllt ist. unglücklich

Du hast die allgemeine Lösung $\begin{eqnarray*} y_h = Ce^{2x} \end{eqnarray*}$ der homogenen DGL sowie eine partikuläre Lösung $\begin{eqnarray*} y_p=-2 \end{eqnarray*}$ der vollen DGL zur Hand, insgesamt also

$\begin{eqnarray*} y = Ce^{2x}-2 \end{eqnarray*}$

als allgemeine Lösung der DGL. $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ eingesetzt ergibt $\begin{eqnarray*} f(2) = Ce^4-2 \end{eqnarray*}$ , umgestellt zu $\begin{eqnarray*} C=(f(2)+2)e^{-4} \end{eqnarray*}$ , insgesamt also

$\begin{eqnarray*} f(x) = (f(2)+2)e^{2(x-2)}-2 \end{eqnarray*}$ .

23.11.2012, 17:23

nanoneo

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und wie kommt man damit auf

$\begin{eqnarray*} -5e^{2x}-2 \end{eqnarray*}$

?

edit: warum sollte $\begin{eqnarray*} (-274,99075-2)e^{2x}-2 \end{eqnarray*}$ denn falsch sein für y ? wenn man das für y und die ableitung hiervon für y' einsetzt dann bleibt am ende 4=4 stehen. scheint doch alles richtig zu sein?

EDIT2: halt stop jetzt verstehe ich, da war ich vorhin auch schon, es heißt dann das C=-4,9999999999997 ist und damit 5 (hinweis in der aufgabe ist, dass die parameter ganzzahlig sein sollen).

also das prinzip ist dass ich ein C ausrechnen muss, für das f(2) gilt. und wenn man f(0) gegeben hat kann man sich das sparen?

23.11.2012, 17:34

HAL 9000

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Zitat:

Original von nanoneo
und wie kommt man damit auf

$\begin{eqnarray*} -5e^{2x}-2 \end{eqnarray*}$

?

edit: warum sollte $\begin{eqnarray*} (-274,99075-2)e^{2x}-2 \end{eqnarray*}$ denn falsch sein für y ?

Ich denke, es geht um das AWP mit $\begin{eqnarray*} f(2) = -274{,}99075 \end{eqnarray*}$ ??? Wenn ich deine "Lösung" x=2 einsetzte, dann kommt da mitnichten $\begin{eqnarray*} -274{,}99075 \end{eqnarray*}$ heraus.

Offenbar hast du bisher nur AWP mit f(0)=... gelöst und machst nun total falsche Analogieschlüsse. unglücklich

Übrigens ist $\begin{eqnarray*} (-274,99075+2)e^{-4} \approx -5 \end{eqnarray*}$ , ziemlich genau sogar.

23.11.2012, 23:51

nanoneo

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also wenn ich ehrlich bin dachte dass es egal ist ob es jetzt f(0), f(1), f(2) oder sonst was ist. wie muss ich denn eine rechnung eines DGL angehen mit z.b. f(1) ?

23.11.2012, 23:53

HAL 9000

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Das habe ich doch oben gesagt und auch demonstriert!

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