einige Fragen (u.a. Ebenengleichung aufstellen, Schnittgeraden etc.)

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10.02.2007, 12:40

Ithildin

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einige Fragen (u.a. Ebenengleichung aufstellen, Schnittgeraden etc.)

Hallöchen

Da bin ich wieder....und Montag steht dei Mathe Vorabi Klausur an und ich bin grad fleißig am lernen Rock

Aber mir kommen da so ein paar Fragen auf, deswegen dieses Thema hier...da kann ich sie dann sammeln Augenzwinkern

So zuerst mal...Wie untersuche ich die lineare Abhänigkeit von Ebenen....
Muss ich einen Spannvektor von E1 mit ZWEI Spannvektoren von E2 gleichsetzten und das wars dann...
ODER muss ich danach noch den anderen Spannvektor von E1 auch noch mit den beiden Spannvektoren von E2 gleichsetzten???

____________________________________

Dann hab ich noch ne Frage und zwar hab ich grad ne Aufgabe gerechnet...
Man musste aus der Parameterform der Ebenengleichung eine Koordinatenform machen...
Hier die Ebene: $\begin{eqnarray*} E= \vec{x}: \begin{pmatrix} 6 \\ 9 \\ 1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

so dann brauch ich ja $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ für die Koordinatenform nich wahr?
und dazu muss ich ja die beiden Spannvektoren skalarmultiplizieren also:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

sooo... aufgelöst:

$\begin{eqnarray*} I 4n_1 + n_2 - 4n_3 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} II n_1 -2n_2 +4n_3 = 0 \end{eqnarray*}$

Dann hab ich $\begin{eqnarray*} II * (-1) \end{eqnarray*}$ gerechnet und dann $\begin{eqnarray*} I + II \end{eqnarray*}$

sooo da kam raus... $\begin{eqnarray*} 3n_1+3n_2=0 \end{eqnarray*}$
das hab ich nach $\begin{eqnarray*} n_1 \end{eqnarray*}$ augelöst: $\begin{eqnarray*} n_1 =-n_2 \end{eqnarray*}$
dann hab ich $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} n_3 \end{eqnarray*}$ aufgelöst... $\begin{eqnarray*} n_3= n_1 + \frac{1}{4}n_2 \end{eqnarray*}$
dann $\begin{eqnarray*} n_2= 4 \end{eqnarray*}$ gewählt und eingesetzt das wäre dann
$\begin{eqnarray*} n_1= -4 n_3= -3 \end{eqnarray*}$
also wäre $\begin{eqnarray*} \vec{n}= \begin{pmatrix} -4 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ verwirrt

im Unterricht hatten wir da aber $\begin{eqnarray*} \vec{n}= \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ raus !!
ist mein Ergebnis jetzt falsch verwirrt

10.02.2007, 12:43

tigerbine

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RE: einige Fragen (u.a. Ebenengleichung aufstellen, Schnittgeraden etc.)
Wie untersuche ich die lineare Abhänigkeit von Ebenen

Was willst du darunter verstehen? Vektoren sind linear abhängig oder unabhängig.

10.02.2007, 12:45

Ithildin

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also wenn ich schauen will ob die ebenen sich schneiden oder nicht...weißte Augenzwinkern

10.02.2007, 12:48

bounce

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hey wie tigerbiene schon geschrieben hat, man untersucht wenn dann die ineare Abhängigkeit oder Unabhängigkeit bei Vektoren aber nicht bei Ebenen.

Kennst du das Kreuzprodukt?

10.02.2007, 12:52

Ithildin

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neee kenn ich net Augenzwinkern

aber wir haben immer einen spannvektor von E1 mit den beiden von E2 gleichgesetzt und ich frag mich jetzt einfach nur ob das reicht um die lineare abhänigkeit der spannvektoren zu überprüfen oder ob ich auch noch den 2. spannvektor von E1 mit denen von E2 gleichsetzen muss verwirrt

10.02.2007, 12:55

tigerbine

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Weis isch schon...mussste aber auch so schreiben Augenzwinkern

Ebenen

Schnittgerade

10.02.2007, 12:58

Ithildin

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hääääääääääääääääääääääääää.....was soll ich nun mit den wiki seiten??

ich wollte doch nur wissen ob ein spannvektor reicht oder ob auch noch der andere geprüft werden muss traurig

10.02.2007, 13:03

tigerbine

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wir wär es mit Lesen?

Zitat:

Ebenengleichungen besitzen jeweils zwei Richtungsvektoren. Deshalb untersucht man die lineare Abhängigkeit von zwei Vekoren der einen und dem ersten Vektor der anderen Gleichung, dann nimmt man den noch nicht verwendeten und zwei beliebige der anderen Vektoren. Am Besten bedient man sich der Determinanten, um die Abängigkeiten festzustellen (0 bedeutet lineare Abhängigkeit).

Erhält man zweimal 0, sind die Ebenen echt parallel oder identisch. Erfüllt der Aufpunkt der einen die Ebenengleichung der anderen Ebene liegt Identität vor, sonst echte Parallelität.

Sobald einmal nicht 0 herauskommt schneiden sich die Ebenen. Durch Gleichsetzen erhält man die Gleichung der Schnittgerade.

10.02.2007, 13:05

Ithildin

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kappier ich net :p

10.02.2007, 13:12

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} E_1:~\vec{x}=\vec{a_1}+\alpha\cdot \vec{v_1} + \beta \cdot \vec{w_1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_2:~\vec{x}=\vec{a_2}+\gamma\cdot \vec{v_2} + \delta \cdot \vec{w_2} \end{eqnarray*}$

Was ist nun zu untersuchen:

$\begin{eqnarray*} det(v_1,w_1,v_2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} det(v_1,w_1,w_2) \end{eqnarray*}$

10.02.2007, 13:39

Ithildin

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du verwirrst mich irgendwie immer mehr *gg*

10.02.2007, 13:56

tigerbine

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Versteh ich nicht....

$\begin{eqnarray*} det(v_1,w_1,v_2) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} det(v_1,w_1,w_2) = 0 \end{eqnarray*}$

D.h. v2 läßt sich als LinearKombination von v1 und w2 darstellen,

w2 läßt sich als LinearKombination von v1 und w2 darstellen, d.h.

Die Ebenen sind parallel oder identisch. Setzt a1 in E2 ein. Wenn er drinne liegt sind sie identisch.

4 Vektoren können im Dreiminensionaln nicht linear unabhängig sein. Da v2, w2 linar unabhängig sind, wird im Falle des Schnitts eine Deerminante 0 und die andere von 0 verschieden sein.

Gleichsetzten und schnittgerade berechnen.

10.02.2007, 14:35

Ithildin

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ok jetzt is klar Augenzwinkern

nun die nächste frage...ähm...wann ist eine gerade zu einer Ebene orthogonal??

wenn der richtungsvektor von g linear abhängig ist zm normalen vektor von E oder wenn das skalarprodukt vom richtungsvektor von g und dem normalen vektor von E gleich null ist???

10.02.2007, 14:38

tigerbine

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Der Normalenvektor n der Ebene steht senkrecht auf dieser.

Wenn der RV r von g: r|| n ist (das bedeutet hier linear abhängig)

Wenn <r,n> = 0 wäre, wären die beiden orthogonal und die gerade verlief parallel zur ebene (oder in ihr)

10.02.2007, 14:43

Ithildin

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ok danke also muss RV von g linear abhänig sein von n ...gut gut....
das wars erstmal Augenzwinkern

ich rechne mal weiter *gg*

Freude

10.02.2007, 15:25

Ithildin

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aber warte ma...wenn RV von g linear abhänig ist zu n...heisst das nicht dann dass g parallel ist zu E??

och mensch das verwirrt mich grad mal alles irgendwie traurig

10.02.2007, 16:29

Ithildin

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ich weiß es ist analysis aber ist meine aufleitung richtig??

$\begin{eqnarray*} f(x)= 5 - (x - 3)^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F(x) = 14x - \frac{1}{3} x^{3}- 6x \end{eqnarray*}$

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