Eisensteinkriterium

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Fürsterlich Auf diesen Beitrag antworten »
Eisensteinkriterium
Meine Frage:
So. Guten Abend. Wir haben das Eisensteinkriterium durchgenommen. Das ist an sich ja sehr leicht verständlich. Allerdings sollen wir mit diesem zeigen daß

aus irreduzibel ist.

Meine Ideen:
Als Primzahlen kommen da aber nur 2 oder 3 in Frage, diese teilen aber nie alle Nichtleitkoeffizienten. Deshalb zweifle ich nun doch ein wenig an mir, ob ich das Kriterium wirklich verstanden habe.

Könnt ihr mir helfen?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ersetze mal durch und multipliziere aus.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eisensteinkriterium
Zitat:
Original von Fürsterlich
Deshalb zweifle ich nun doch ein wenig an mir, ob ich das Kriterium wirklich verstanden habe.

Diese Zweifel sind nur zu berechtigt, angesicht der Tatsache, dass du hier das Polynom



auf Irreduzibilität untersuchen sollst....
Fürsterlich Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eisensteinkriterium
Das scheinen 2 spitze Ideen von euch zu sein, danke. Jetzt ist es leicht.

Warum darf ich x durch x+1 ersetzen? Wir haben übringens nie ein Wort über die Variable x verloren. Ist x aus den reellen Zahlen?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Die Abbildung , die durch gegeben ist, ist ein Isomorphismus. Der schickt insbesondere irreduzible Elemente auf irreduzible Elemente. Daher darfst du das so machen.

ist einfach nur eine formale Variable, mit der man jedoch rechnen kann "als wäre es ein Ringelement".
Fürsterlich Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist sehr gut zu wissen!


Ich bedanke mich! Freude
 
 
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die volle Kraft entfaltet das Eisernsteinkriterium nur in Verbindung mit diesem "Trick"... Beispielsweise zeigt man damit üblicherweise, dass das Polynom



für jede Primzahl p irreduzibel ist... Augenzwinkern
Fürsterlich Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mystic
Ja, die volle Kraft entfaltet das Eisernsteinkriterium nur in Verbindung mit diesem "Trick"... Beispielsweise zeigt man damit üblicherweise, dass das Polynom



für jede Primzahl p irreduzibel ist... Augenzwinkern



So wie ich unseren Prof kenne wird das bestimmt auch mal eine Übungsaufgabe werden...
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Fürsterlich
So wie ich unseren Prof kenne wird das bestimmt auch mal eine Übungsaufgabe werden...

Naja, aus diesem Grund - aber jetzt nicht nur deshalb - würde es sich dann ja wirklich lohnen, wenn du dich gleich einmal daran versuchst und damit beweist, dass du obigen "Trick" wirklich verstanden hast... Augenzwinkern
Fürsterlich Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der Frage ob ich es verstanden habe dürften sich die Geister scheiden. Bei konnte man es mit viel Mühe oder eben mit Hilfe sehen, dass klappt.

Gibt es etwa einen Trick, mit welcher Zahl zu x addiert/subtrahiert es klappt? Wenn ich hier wieder nehme klappt es, zumindest für dieses Beispiel: wolframalpha.com/input/?i=\sum+from+k%3D0+to+6+%28x%2B1%29^k, also wenn ich p=7 setze. Aber es ist doch bestimmt nicht immer der Trick, oder?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist in der Tat wieder . Wie du selbst gesehen hast, reicht hier aber keine Fleißarbeit, sondern man muss sich schon ein bisschen was überlegen.

Beachte:

.

Setze in der Gleichung nun und rechne modulo .

Das Ergebnis musst du dann nur noch richtig interpretieren.


PS: Ich weiß nicht, ob dir das was sagt (und es ist hier eigentlich nicht wichtig, aber ist quasi die natürliche Fortsetzung dieser Überlegungen), aber man kann auch zeigen:

Ist eine primitive n-te Einheitswurzel, so annulliert das Minimalpolynom von über auch alle anderen primitiven n-ten Einheitswurzeln.

Das zeigt, dass das Minimalpolynom von den Grad hat. Insbesondere zeigt dies, dass Minimalpolynom von ist, also ist es irreduzibel. Das, was wir hier mit dem Eisensteinkriterium zeigen können, ist also ein Spezialfall.
Fürsterlich Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin gar nicht soweit gekommen. modulo p zu rechnen:



:

tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Du sollst nicht nach dem binomischen Lehrsatz entwickeln.

Die rechte Seite lässt du einfach so stehen, nachdem du eingesetzt hast. Es geht primar darum, was auf der linken Seite passiert, wenn du x+1 eingesetzt hast und modulo p rechnest.
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