Lineare Unabhängigkeit einer Matrix

23.11.2012, 20:55

donpain

Lineare Unabhängigkeit einer Matrix

Guten Abend!

Die Aufgabe:
Seien $\begin{eqnarray*} m,n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und sei K ein beliebiger Körper. Beweisen Sie die folgende Aussage: Falls $\begin{eqnarray*} A^{m\times n} \in K \end{eqnarray*}$ eine Matrix in Zeilenstufenform mit r Stufenindizes $\begin{eqnarray*} j_{1},... ,j_{r} \end{eqnarray*}$ ist, so sind die (von 0 verschiedenen) ersten r Zeilen von A linear unabhängig.

Das Problem:
Also mir ist eigentlich klar, dass das gilt und dass ich zeigen muss, dass das Gleichungssystem Ax=0 nur die triviale Lösung x=0 hat, aber ich weiß einfach keine Möglichkeit, wie ich das mathematisch aufschreiben könnte bzw. wie ich einen solchen Beweis führen kann.
Bitte um Hilfe!

Grüße,
Marius

25.11.2012, 10:25

donpain

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RE: Lineare Unabhängigkeit einer Matrix
Weiß denn niemand Rat? Erstaunt1

25.11.2012, 10:54

rza

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also wie sieht denn zeilenstufenform aus ? und wie ist die lineare unabhägigkeit definiert ? schreib die summe mit der man l.u beweist mal an

25.11.2012, 13:58

donpain

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Die Zeilenstufenform sieht zB so aus:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0&3&4&3&2\\0&0&4&2&3 \\ 0&0&0&2&7 \\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Sprich wir haben unsere Stufen und unter unseren Pivotelementen haben wir Nullen. Und wenn Nullzeilen vorhanden, dann schreiben wir diese als letzte Zeilen der Matrix.

Lineare Unabhängigkeit liegt vor, wenn sich die 0 nur als triviale Linearkombination darstellen lässt. Sprich wenn gilt:
Sei $\begin{eqnarray*} (v_{i} )_{i\in \left\{ 1,...,n\right\} } \end{eqnarray*}$ eine Familie von Vektoren.
Diese Familie ist lin. unab., wenn gilt:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n \lambda_{i} v_{i} =0\Rightarrow \lambda_{i} =0\forall i\in \left\{ 1,...,n\right\} \end{eqnarray*}$

25.11.2012, 15:02

rza

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jo gut und jetzt setz mal für die v_i die zeilen deiner matrix ein ... wie siehts dann aus ?

25.11.2012, 15:08

donpain

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Zitat:

jo gut und jetzt setz mal für die v_i die zeilen deiner matrix ein ... wie siehts dann aus ?

Aber ich habe doch eine beliebige Matrix. :/ Ich weiß ja nicht wie die Zeilen aussehen und sie können ja sogar unendlich lang sein. :/

25.11.2012, 15:18

rza

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naja unendlich nicht wirklich weil du ja die dimension in der angabe stehen hast
jo hier is die matrix beliebig aber eine charakteristik haben die zeilen doch wenn die matrix in zeilenstufenform ist ...
schreib die summe mit den zeilen dieser matrix mal an

25.11.2012, 15:25

donpain

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Zitat:

schreib die summe mit den zeilen dieser matrix mal an

Also ich weiß nicht, wie ich sowas zu Papier bringen kann. Ich hätte es jetzt so gemacht:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^r \lambda_{i} v_{i} =\lambda_{1} *(a_{1,j_{1} } ,...,...) + \lambda_{2} *(0,...,a_{n,j_{2} },...) + ... + \lambda_{r} * (0,...,...,a_{r,j_{r} } ) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 1<n<r \end{eqnarray*}$ .

Wäre das richtig? O.o

25.11.2012, 15:34

rza

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genau ... und jetzt soll dass gleich dem nullvektor sein .... jetzt kannst du ja lambda_1 bestimmen oder ?

25.11.2012, 15:42

donpain

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Ah, wenn das ganze gleich dem Nullvektor sein soll, dann muss Lambda_1 gleich 0 sein damit a(1,j1) 0 wird, weil die anderen Zeilen sind an der Stelle 0, und somit wird a(1,j1) nur für Lambda_1=0 Null.
Lambda_2 muss dann auch Null sein, weil aus dem gleichen Grund sonst a(n,j2) nicht 0 werden kann.
Und so geht das weiter bis Lambda_r. Richtig?

Wenn ja, kann ich das so aufschreiben? Ist das "mathematisch" genug? O.o

25.11.2012, 15:56

rza

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ja so würde ich das auch aufschreiben aber pass auf nicht a(1,j1) wird null sondern das produkt von lambda1 und a(1,j1) wird null usw ...

25.11.2012, 16:01

donpain

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Super! Ich danke dir. smile

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