Flächeninhalt eines Dreieckes mit einer unbekannten Ordinate

23.11.2012, 23:07

CMPLX

Flächeninhalt eines Dreieckes mit einer unbekannten Ordinate

Abend,
Hab mir zur Übung mal ein Arbeitsblatt vorgeknöpft und sitz beim c-Teil fest.
Gegeben ist ein Dreieck STU mit den Koordinaten S(-3/1); T(t/0); U(3/5).
Man soll als erstes den Flächeinhalt für t = 0 berechnen.
$\begin{eqnarray*} A = \frac{1}{2} [x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1} )+x_{3}(y_{1}-y_{2})] \end{eqnarray*}$
Heraus kamen $\begin{eqnarray*} 9LE^{2} \end{eqnarray*}$
Frage: Spielt die Anordnung der Punkte eine Rolle?
Als zweites soll man berechnen, für welchen Wert von t der Flächeninhalt doppelt so groß ist wie für t = 0.
Meine Idee war:
$\begin{eqnarray*} 18 = \frac{1}{2} [t(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1} )+x_{3}(y_{1}-y_{2})] \end{eqnarray*}$
Ich habe die Klammers ausmultipliziert:
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{2}[t+t-5t-3-15+3-3] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{2}+\frac{t}{2}+\frac{t}{2}-\frac{5}{2}t-\frac{3}{2}-\frac{15}{2}+\frac{3}{2}-\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 18 = -\frac{3}{2}t - 8,5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}t = -26,5 |:\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t = -\frac{53}{3} \end{eqnarray*}$
Leider ging das nicht auf.
Bei einer anderen Anordnung,
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{2}[3(1-0)+-3(0-5)+t(5-1)] \end{eqnarray*}$
hatte ich das Ergebnis:
$\begin{eqnarray*} 18 = \frac{5}{2}t + 8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -\frac{5}{2}t = -10 |: (-\frac{5}{2}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t = 4 \end{eqnarray*}$
Kann mir Jemand weiterhelfen?
Ich weiß durch ausprobieren, dass die Lösung t = 4,5 ist aber ich würde gerne wissen, wie man das berechnet.
Danke schonmal.

24.11.2012, 01:07

riwe

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RE: Flächeninhalt eines Dreickes mit einer unbekannten Ordinate
die reihenfolge muß natürlich schnurzegal sein, und ist es auch

$\begin{eqnarray*} 36=-3(0-5)+t(5-1)+3\cdot 1\to t =4.5 \end{eqnarray*}$

24.11.2012, 02:19

opi

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Falls die Reihenfolge wirklich egal sein sollte (was ich bei der Angabe "Dreieck STU" bezweifele), gäbe es sogar wegen des Betrages der Fläche noch eine zweite Lösung für t. smile

[attach]26847[/attach]

24.11.2012, 10:24

riwe

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mit reihenfolge meinte ich STU TUS UST, und die ist schnurzegal,
wobei zyklisch vertauscht wird.
(natürlich ist das ganze vorzeichenbehaftet, womit es 2 lösungen gibt)

24.11.2012, 15:47

CMPLX

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Vielen Dank für die Antworten!
Mit Reihenfolge meinte ich die Anordnung der Koordinaten in der Formel selbst.
Soll man die Reihenfolge vielleicht alphabetisch anordnen? Also S=P1, T=P2 und U=P3?
@riwe: wieso 36 = und was hast du mit t gemacht?
@opi: wie meinst du das mit der zweiten Lösung für t?

25.11.2012, 00:07

opi

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Auf meiner Skizze sind zwei Dreiecke zu sehen: Beim blauen sind die Punkte S, T und U gegen den Uhrzeigersinn angeordnet, beim roten im Uhrzeigersinn. Die Flächenformel liefert bei dieser zweiten (unüblichen) Orientierung einen negativen Wert. Ist auch nicht schlimm, man kann sich mit dem Betrag retten.

Falls die Aufgabenstellung diese unübliche Orientierung nicht ausschließt (z.B. "gegeben ist ein Dreieck mit den Eckpunkten S, T und U") muß man die Gleichung in Betragsstriche setzen und erhält zwei Lösungen.
$\begin{eqnarray*} 18=|...| \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \pm 18= ... \end{eqnarray*}$

Zur 36: Werner hat die Gleichung mit 2 multipliziert und dadurch vermieden, den Bruch $\begin{eqnarray*} \frac 1 2 \end{eqnarray*}$ in die Klammer zu multiplizieren. Augenzwinkern

25.11.2012, 15:56

CMPLX

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Achso ok Danke.
Das mit dem Betrag hab ich außer Acht gelassen.

25.11.2012, 16:10

riwe

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Zitat:

Original von CMPLX
Vielen Dank für die Antworten!
Mit Reihenfolge meinte ich die Anordnung der Koordinaten in der Formel selbst.
Soll man die Reihenfolge vielleicht alphabetisch anordnen? Also S=P1, T=P2 und U=P3?
@riwe: wieso 36 = und was hast du mit t gemacht?
@opi: wie meinst du das mit der zweiten Lösung für t?

wie opi schon geschrieben hat

$\begin{eqnarray*} 36 = 2\cdot2\cdot abs(A) \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

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