Unterräume von R3 mit Ebenen und Geraden

24.11.2012, 10:43

JessyD

Unterräume von R3 mit Ebenen und Geraden

Guten Morgen,

ich sitze vor einer Übungsaufgabe und stehe dabei irgendwie auf dem Schlauch.

Es geht um Ebenen die den Nullpunkt enthalten (2-dimensionale Unterräume aus $\begin{eqnarray*} R^3 \end{eqnarray*}$ ) und Geraden durch den Nullpunkt (1-dimensionale Unterräume aus $\begin{eqnarray*} R^3 \end{eqnarray*}$ ).
Ich soll nun zeigen, dass zwei Ebenen E1 und E2 durch 0 in $\begin{eqnarray*} R^3 \end{eqnarray*}$ sich immer in mindestens einer Geraden schneiden. Also $\begin{eqnarray*} dim( E_1 \cap E_2) \geq 1 \end{eqnarray*}$

Als Hinweis ist folgendes gegebenen:
Wählen Sie zwei Basen von E1 und E2. Warum müssen diese vier Vektoren linear unabhängig sein, wenn gilt $\begin{eqnarray*} E_1 \cap E_2 = \{0\} \end{eqnarray*}$

Vor meinem geistigen Auge, kann ich mir geometrisch vorstellen, warum sich die Ebenen immer in mindestens einer Geraden schneiden wenn beide durch den Nullpunkt gehen. Aber ich habe keine Ahnung wie ich das richtig beweisen soll.
Ich scheitere im Moment schon daran, die Standardbasis einer Ebene in $\begin{eqnarray*} R^3 \end{eqnarray*}$ zu bestimmen.
Ich denke sie sieht so aus: $\begin{eqnarray*} e_1 = \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}, e_2 = \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}, e_3 = \begin{pmatrix} 0\\0\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Dann wäre die Dimension einer Ebene aber 3. Laut Aufgabe ist die Dimension aber 2. Das heißt, meine Basis ist falsch. Aber wie komme ich auf eine Basis mit zur zwei Elementen für eine Ebene?
Wie gesagt ich steh voll auf dem Schlauch.

24.11.2012, 11:18

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Habt ihr Euch schon über Dimensionssätze unterhalten?
Hier kannst Du nämlich den Satz über die Summe von Vektorräumen wunderbar anwenden.

24.11.2012, 11:48

JessyD

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

soweit ich weiß, war er in der Vorlesung noch nicht dran. Ich habe ihn jetzt auf die schnelle mal im vorlesungsbegleitenden Buch nachgeschlagen. Da steht er drin.

Ich würde es aber gerne erst einmal ohne versuchen. Dann in der Vorlesung war er ja noch nicht dran.

Kann mir jemand sagen wie die richtige Basis für eine Ebene aussieht? Vielleicht komme ich damit schon weiter, aber irgendwie hänge ich da fest.

Jessy

24.11.2012, 11:55

EinGast

Auf diesen Beitrag antworten »

du kannst dem Hinweis folgen. Wähle eine Basis $\begin{eqnarray*} u_1,u_2 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} E_1 \end{eqnarray*}$ und eine Basis $\begin{eqnarray*} v_1,v_2 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} E_2 \end{eqnarray*}$ .
Wäre nun $\begin{eqnarray*} E_1\cap E_2=\{0\} \end{eqnarray*}$ , so kann man zeigen, dass dann $\begin{eqnarray*} u_1,u_2,v_1,v_2 \end{eqnarray*}$ linear unabhänging wären in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ ....

24.11.2012, 12:04

JessyD

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

genau daran scheitere ich ja. Ich finde keine Basis zu E1 oder E2 die in der Dimension 2 liegt. Ich komme nur auf Basen mit der Dimension 3. Und das ist ja schon an der Aufgabenstellung vorbei.

Mein Ansatz für die Basis ist, dass eine Ebene in $\begin{eqnarray*} R^3 \end{eqnarray*}$ durch drei Punkte im Koordinatensystem (x,y,z) gehen muss. Aber dann komme ich immer auf drei Elemente in der Basis = Dimension 3. Also ist mein Ansatz hier schon irgendwie falsch.

24.11.2012, 12:06

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Vektoren sind natürlich dreidimensional, aber die Basis besteht aus zwei Elementen.

24.11.2012, 12:39

JessyD

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah .. OK .. da war das Brett Big Laugh

Ich habe also als Basis $\begin{eqnarray*} u_1 = \begin{pmatrix} u_1\\u_1'\\u_1'' \end{pmatrix}, u_2 = \begin{pmatrix} u_2\\u_2'\\u_2'' \end{pmatrix} \in E_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_1 = \begin{pmatrix} v_1\\v_1'\\v_1'' \end{pmatrix}, v_2 = \begin{pmatrix} v_2\\v_2'\\v_2'' \end{pmatrix} \in E_2 \end{eqnarray*}$

Ich versuche dann mal damit weiter zu machen.

Ich weiß, dass 0 in beiden Ebenen enthalten ist, da $\begin{eqnarray*} 0 u_1 + 0 u_2 = 0 \in E_1 \wedge 0 v_1 + 0 v_2 = 0 \in E_2 \end{eqnarray*}$ .
Aus $\begin{eqnarray*} E_1 \cap E_2 = \{0\} \wedge u_1 \in E_1 \wedge u_2 \in E_1 \wedge 0 \in E_1 \wedge v_1 \in E_2 \wedge v_2 \in E_2 \wedge 0 \in E_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow v_1 \notin E_1 \wedge v_2 \notin E_1 \wedge u_1 \notin E_2 \wedge u_2 \notin E_2 \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} u_1, u_2 \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} E_1 \end{eqnarray*}$ bilden, sind alle Elemten aus $\begin{eqnarray*} E_1 \end{eqnarray*}$ von ihnen linear abhängig. Gleiches gilt für $\begin{eqnarray*} v_1, v_2 \end{eqnarray*}$ bezüglich $\begin{eqnarray*} E_2 \end{eqnarray*}$ .

Daraus folgt, das die vier Vektoren der beiden Basen linear unabhängig voneinander sind, wenn $\begin{eqnarray*} E_1 \cap E_2 = \{0\} \end{eqnarray*}$ gilt.

Habe ich das jetzt richtig geschlussfolgert? Und wenn ja, darf ich das auch so aufschreiben?

Weiter geht es heute nachmittag, jetzt muss ich erst mal ein paar andere Sachen erledigen Augenzwinkern

Edit(Helferlein): Zeilenumbruch in die Latexformel eingefügt, um Überbreite zu unterbinden.

24.11.2012, 14:02

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann deiner angegebenen Äquivalenz nicht die getroffene Folgerung ansehen, was aber vielleicht auch daran liegt, dass sie recht unübersichtlich ist. Gehe besser schrittweise vor und betrachte die Gleichung $\begin{eqnarray*} 0=\lambda_1u_1+\lambda_2u_1+\mu_1v_1+\mu_2v_2 \end{eqnarray*}$

25.11.2012, 06:25

JessyD

Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Morgen,

mit dem Auflösen der Gleichung tue ich mich etwas schwer. Ich muss ja darauf hinaus, dass alle Variablen 0 werden.

$\begin{eqnarray*} 0 = \lambda_1 u_1 + \lambda_2 u _2 + \mu_1 v_1 + \mu_2 v_2 \newline<br /> \Leftrightarrow - \lambda_1 u_1 - \lambda_2 u_2 = \mu_1 v_1 + \mu_2 v_2 \end{eqnarray*}$

Soweit klar, aber wie komme ich jetzt darauf, das beide Seiten 0 sein müssen. Die Vektoren sind ja beliebige Basen, daher könnte das doch auch anders auflösbar sein. Oder?

Deswegen hatte ich es mit dem Ansatz über die Mengen versucht.
Ich schlussfolgere aus $\begin{eqnarray*} E_1 \cap E_2 = \{0\} \end{eqnarray*}$ , dass 0 das einzige Element ist, das in beiden Mengen enthalten ist.
Das wiederum heißt, das v1, v2 nicht in E1 sind und u1, u2 nicht in E2.
Das wiederum heißt das v1 linear unabhängig von der Basis von E1 ist (also u1 und u2), denn sonst wäre v1 ja ein Element von E1. Gleiches gilt für v2.
Und es heißt, das u1 linear unabhängig von der Basis von E2 ist (also v1 und v2). Gleiches gilt für u1.

Ich hab jetzt mal versucht es auszuformulieren. Dieser Ansatz müsste doch eigentlich auch gehen.

@Helferlein: Danke für den Zeilenumbruch. Meine Latex-Künste haben noch ein bisschen Zeit zum wachsen Big Laugh

25.11.2012, 17:08

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben $\begin{eqnarray*} - \lambda_1 u_1 - \lambda_2 u_2 = \mu_1 v_1 + \mu_2 v_2 \end{eqnarray*}$

Aus welcher Menge ist der Vektor auf der linken Seite und aus welcher der auf der rechten?
Da sie gleich sind müssen beide also aus ... sein.

25.11.2012, 17:45

JessyD

Auf diesen Beitrag antworten »

Da beide Vektoren gleich sind, müssen sie aus der selben Menge - dem Schnitt von E1 und E2 - sein.
Die Menge kann entweder {0} sein oder E1 ist eine Teilmenge von E2 oder umgekehrt.

Wenn die Menge {0} ist, dann sind die Vektoren linear unabhängig, andernfalls sind sie linear abhängig.

Aber reicht das als Beweis schon aus?

Oder darf ich jetzt die Bedingung einsetzten, dass die Schnittmenge von E1 und E2 = {0} ist?

25.11.2012, 20:27

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von JessyD
Wenn die Menge {0} ist, dann sind die Vektoren linear unabhängig

Genau das setzen wir ja voraus. Also haben wir auf beiden Seiten den Nullvektor.
Was folgt daraus für die vier Koeffizienten bzw. die Menge $\begin{eqnarray*} \{u_1,u_2,v_1,v_2\} \end{eqnarray*}$

Neue Frage »

Antworten »

Unterräume von R3 mit Ebenen und Geraden

Verwandte Themen