Zwischenwertsatz cos(x)=x

24.11.2012, 11:58	herp	Auf diesen Beitrag antworten »
Zwischenwertsatz cos(x)=x Meine Frage: Hey kann mir gut vorstellen, dass das Thema cos(x)=x hier schon recht ausgelaugt ist. Konnte aber aber leider nichts hilfreiches finden Also meine Frage ist gar nicht so recht eine Lösung dafür zu finden sondern zu zeigen ob es eine Lösung in einem gewissen Intervall gibt... $\begin{eqnarray} cos(x)=x \end{eqnarray}$ Intervall $\begin{eqnarray} \left[0,\frac{\pi }{2} \right] \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Anhand der Newton Methode weiß ich schon, dass die Lösung dafür so um 0,739 liegt. Aber kann man anhand des Zwischenwertsatzes hier zeigen, dass es eben einen Lösung in[0,pi/2] gibt? Nur komm ich mit der Form cos(x)=x nicht ganz zurecht
24.11.2012, 12:00	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieh dir mal die Funktion $\begin{eqnarray} f:[0,\frac {\pi}{2}]\rightarrow\mathbb R,~x\mapsto \cos(x)-x \end{eqnarray}$ an.
24.11.2012, 12:22	herp	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, danke für den Denkanstoß Da hat ich wohl was vor den Augen :o also: da cos(x) stetig ist haben auch alle Werte die im Intervall f(pi/2) und f(0) liegen ein "Urbild". Also auch der Wert 0. Demnach gibts cos(x)-x=0 und sommit auch cos(x)=x richtig?
24.11.2012, 12:25	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Stetigkeit von $\begin{eqnarray} \cos(x) \end{eqnarray}$ alleine reicht bei $\begin{eqnarray} f(x)=\cos(x)-x \end{eqnarray}$ aber nicht aus. Da sollte noch mehr stetig sein damit du den ZWS anwenden kannst.
24.11.2012, 12:34	herp	Auf diesen Beitrag antworten »
ups..sind wohl noch die Auswirkungen von gestern Nacht ^^ also: $\begin{eqnarray} cos(x)-x \end{eqnarray}$ muss stetig sein. Nachdem $\begin{eqnarray} cos(x) \end{eqnarray}$ stetig ist und auch $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ stetig ist muss auch $\begin{eqnarray} cos(x)-x \end{eqnarray}$ stetig sein.
24.11.2012, 12:48	Rambo	Auf diesen Beitrag antworten »
Da Iorek offline ist, mache ich mal weiter. Du hast nun gezeigt, dass die zusammengesetzte Funktion stetig ist. Es ist ein kompaktes Intervall gegeben, daher ist der ZWS anwendbar. Jetzt brauchst du nur noch zeigen, dass es Argumente $\begin{eqnarray} x_1{,}x_2\in I \end{eqnarray}$ gibt mit $\begin{eqnarray} g(x_1)<0 {,} g(x_2)>0 \end{eqnarray}$ . Hierbei bezeichne ich $\begin{eqnarray} g(x):=cos(x)-x \end{eqnarray}$ . Die Behauptung folgt dann sofort.
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24.11.2012, 13:12	herp	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das hab ich eh schon gemacht .. wollts nur vorher nicht so lang ausführen.. $\begin{eqnarray} g(\frac{\pi }{2})= -\frac{\pi }{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g(0)=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow g(\frac{\pi }{2})\leq 0\leq g(0) \end{eqnarray}$ demnach existiert ein Wert $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ sodass $\begin{eqnarray} cos(\lambda)-\lambda=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda\in\left[0,\frac{\pi }{2}\right] \end{eqnarray}$
24.11.2012, 13:15	Rambo	Auf diesen Beitrag antworten »
Sollte mir vorher mal alle Posts durchlesen. Nur noch den ZWS in deinem letzten Argument erwähnen
24.11.2012, 13:24	herp	Auf diesen Beitrag antworten »
ok.. danke mal an euch beide für die schnelle Hilfe

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