Monotonieverhalten ?

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Terminator IIX. Auf diesen Beitrag antworten »
Monotonieverhalten ?
Meine Frage:
Hallo , ich habe ein kleines Problem mit einer Aufgabe:
f(x)=x²-8x I=[4;5]

Ohne Verwendung der Ableitung soll ich angeben , dass Funktion f streng monoton steigend ist.



Meine Ideen:
f(x1) < f(x2)
x²1-8x1 < x²2-8x2
x²1-x²2 < 8x1-8x2
(x1-x2)(x1+x2)<8(x1-x2)
x1+x2< 8 <-- Hier wird mir unklar was gemacht wurde bzw. wird , ab hier verstehe ich nichts mehr
ODER
x1+x2>8


(x1-x2)(x1+x2)<8(x1-x2)
x1+x2< 8 ODER x1+x2>8


Was hat das mit dem Intervall I=[3;5] zu tun , ich kannte jetzt nur Aufgaben bei denen war x<1 angegeben und somit wusste ich , dass wie zum Beispiel bei dieser Aufgabe f(x)=x²-2x ;x>1
2< x2+x1
Rambo Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Funktion f ist eine quadratische Funktion. Diese besitzt einen Tiefpunkt (Wo?). Was gilt für die Funktionen, die links und rechts vom Tiefpunkt Werte annehmen?
Terminator IIX. Auf diesen Beitrag antworten »

Danke erst mal , aber ich kann dir nicht ganz folgen..):
Welche Funktionen meinst du mit links und rechts ?
Rambo Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst bestimme den Tiefpunkt, nennen wir diesen . Nun kann ich eine Funtkion einschränken, d.h. ich verkleinere ihren Definitionsbereich. In diesem Fall z.B. von auf . Diese "neue" Funktion hat nun eine ganz bestimmte, für die Lösung der Aufgabe nützliche Eigenschaft. Beachte, dass es sich um eine verschobene, verzerrte Normalparabel handelt, deren Eigenschaften ihr sicherlich schon besprochen habt und hier auch ohne Einschränkung anwenden dürft.
Terminator IIX. Auf diesen Beitrag antworten »

Hier die Aufgabe a) das da oben war die b)
so hat er die a) gemacht

f(x)=x²-6x+9

I=[3;5]
Hier musste man ja die Funktion nicht einschränken und weitere Details über sie herausrechnen ...?


f(x1)<f(x2)
x²1-6x1+9<x²2-6x2+9 |+6x1 | -9
x²1 - x²2 <6x1- 6x2
(x1-x2)(x1+x2) < 6(x1-x2)
x1+x2 >6
Rambo Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, meine Lösung ist eine Alternative, die weniger Rechnen erfordert als die von dir angegebene. Zunächst einmal sollte erwähnt sein, dass , da man sonst nicht durch den Term teilen darf. Die letzte Ungleichung ist offensichtlich eine wahre Aussage (für den gegebenen Definitionsbereich), denn betrachte diese für und .
 
 
Terminator IIX. Auf diesen Beitrag antworten »

f(x1) < f(x2)
x²1-8x1 < x²2-8x2
x²1-x²2 < 8x1-8x2
(x1-x2)(x1+x2)<8(x1-x2)
x1+x2< 8
oder
x1+x2>8 ??

(x1-x2)(x1+x2)<8(x1-x2)
x1+x2< 8

Diesen Schritt versteh ich auch nicht

x1+x2< 8 oder x1+x2>8
Was ist nun richtig ?


Und woher weiß ich für x1 und x2 steht ?
Rambo Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst einmal: Sollst du in b) deine Funktion auf streng monoton fallend oder wachsend prüfen? Ich nehme an ersteres. Falls letzteres, so ergibt sich in der Rechnung ein Widerspruch in der letzten Ungleichung (Warum?). Ich prüfe im Nachfolgenden die Funktion auf streng monoton fallend.

Seien also mit . Hieraus soll nun folgen, dass auch gilt. Dieses ist das Monotoniekriterium für streng monoton fallende Funktionen.
Der Rechenschritt ist nun folgender:
wird auf beiden Seiten durch geteilt. Die Division ist nach Voraussetzung zulässig. Außerdem ist dies eine Äquivalenzumformung, deshalb ändert sich auch nicht das Ungleicheitszeichen. Also steht da nun:

PS: Vergiss mal meine ersten Posts, da war ich unkonzentriert. Meine Alternativlösung funktioniert nur in Aufgabenteil a)
Terminator IIX. Auf diesen Beitrag antworten »

Danke,
wir sollen prüfen ob sie streng monoton steigend ist.
Kannst die mir erklären was bei der Äquivalenzumformung passiert ?
Also die genauen Schritte


Danke , dass du die Zeit hast mir zu helfen
hilfst mir wirklich sehr
Rambo Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, nochmal genauer: Die Situation nach der Division ist folgende:
.
Jetzt kann man kürzen und es ergibt sich die o.g. letzte Ungleichung. Warum kann aber diese nicht gelten? Dazu wähle dir zwei spezielle Elemente ,sodass die Ungleichung nicht gilt. Für den Widerspruch genügt das. Also folgert man, dass die Funktion nicht monoton wachsend sein kann!
Man könnte hier hinzufügen, dass sie jedoch monoton fallend ist. Der Beweis wurde von mir oben auch schon geführt.
Rambo Auf diesen Beitrag antworten »

genauer sollte es heißen: Die Funktion kann im Intervall nicht monoton wachsend sein! Diese Einschränkung ist auch für streng monoton fallend wichtig.
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