Beispiel für eine bijektive, aber nicht streng monotne Fkt. R ->R

24.11.2012, 14:24

Stefan03

Beispiel für eine bijektive, aber nicht streng monotne Fkt. R ->R

Hi,

ich siztze hier vor der Aufgabe, ein Bsp. für eine bijektive, aber nicht streng monotone Funktion, die auf ganz R def. ist, anzugeben.

Kann ich hierfür das Bsp. nehmen $\begin{eqnarray*} f(x)=x^3 \end{eqnarray*}$ ? Sie ist auf ganz R def und auch bijektiv.
Da $\begin{eqnarray*} f'(x)=3x^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f'(0)=0 \end{eqnarray*}$ ist, ist sie nicht streng monoton, zwar noch monoton (steigend), aber nicht streng mononton (steigend). Sehe ich das richtig?

24.11.2012, 14:38

weisbrot

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RE: Beispiel für eine bijektive, aber nicht streng monotne Fkt. R ->R
nein, ableitung=0 bedeutet noch lange nicht, dass die fkt nicht streng monoton steigt - das ist so ein typisches gegenbeispiel dafür (führ dir die exakte definition für strenge monotonie nochmal vor augen).
du brauchst auch nicht nach einer stetigen funktion zu suchen, die das erfüllt, denn die kann es nicht geben.
aber ich bin sicher dass du jetzt selbst drauf kommst, wenn nicht frag nochmal.
lg

24.11.2012, 14:47

Stefan03

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Hi,

eine nicht-stetige Fkt wäre dann $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} x \ne 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(0)=0 \end{eqnarray*}$ . Diese auch auch nicht streng monton.

Also ich habe hier Anaylsis I (Otto Forster) vor mir...

Satz:
Sei $\begin{eqnarray*} f:[a,b] \to R \end{eqnarray*}$ stetig und in ]a,b[ diffbar. Wenn für alle $\begin{eqnarray*} x \in ]a,b[ \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} f'(x) > 0 \end{eqnarray*}$ , so ist f streng mon. wachsend.

Liegt dann das Problem mit den Intervallgrenzen beim Satz? Weil R ist ja nicht abgeschlossen, also offen. Aber trotzdem ist ja f auf ganz R diffbar...

24.11.2012, 14:54

weisbrot

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ok, gutes beispiel erstmal.
zum andern: nein, das hat nichts mit intervallgrenzen zu tun, du kannst ja x^3 auf ein beliebiges intervall einschränken und es ist eine solche funktion.
aber es hat mit logik zu tun: der satz sagt: aus f'>0 folgt strenge monotonie. und du hast angenommen: aus NICHT(f'>0) folgt NICHT(strenge monotonie) - das ist aber keine folgerung aus dem satz und auch falsch, allgemein: A -> B ist äquivalent zu NICHT(B) -> NICHT(A), hat aber nichts mit NICHT(A) -> NICHT(B) zu tun.
klaro? smile

24.11.2012, 14:55

Stefan03

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Ah, ja, stimmt...danke smile

24.11.2012, 16:32

Che Netzer

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Ist eine streng monoton steigende Funktion differenzierbar, so ist die Ableitung fast überall positiv (analog für fallende Funktionen).
Es gibt aber tatsächlich auch stetige, streng monoton steigende Funktionen, die fast überall differenzierbar sind, deren Ableitung aber (wenn existent) Null ist.

Und:

Zitat:

Weil R ist ja nicht abgeschlossen

Doch, $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist durchaus abgeschlossen.

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