Potenzreihenansatz

24.11.2012, 14:49

skhardcore

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Potenzreihenansatz

Servus

es gut um die Potenzreihe, wo ich nicht ganz durchsteige!

Also ich habe folgendes AWP und ich soll mit dem Potenzreihenansatz die ersten sechs Koeffizienten lösenl:

y'' + 12y' -18y = 4 - 18x³

y(0) = 2 = $\begin{eqnarray*} a_{0} \end{eqnarray*}$

y'(0)= 3 = $\begin{eqnarray*} a_{1} \end{eqnarray*}$

Der Ansatz ist ja folgender:

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> y'' + f_{x}*y'+ g_{x}*y_{x} = h_{x} <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> f_{x} = \sum\limits_{k=0}^\infty f_{k}* x^{k} <br /> <br /> g_{x} = \sum\limits_{k=0}^\infty g_{k}* x^{k}<br /> <br /> h_{x} = \sum\limits_{k=0}^\infty h_{k}* x^{k}<br /> <br /> <br /> <br /> y= \sum\limits_{k=0}^\infty k*a_{k} * x^{k} <br /> <br /> y' = \sum\limits_{k=0}^\infty (k+1)*a_{k+1} * x^{k} <br /> <br /> y'' = \sum\limits_{k=0}^\infty (k+2)*(k+1)*a_{k+2} * x^{k} \end{eqnarray*}$

Wenn man das nun in die DGL einsetzt liefert das

$\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{k=0}^\infty (k+2)*(k+1)*a_{k+2} * x^{k}+(\sum\limits_{k=0}^\infty f_{k}* x^{k})*(\sum\limits_{k=0}^\infty (k+1)*a_{k+1} * x^{k})+(\sum\limits_{k=0}^\infty g_{k}* x^{k})*(\sum\limits_{k=0}^\infty k*a_{k} * x^{k})=\sum\limits_{k=0}^\infty h_{k}* x^{k}<br /> \end{eqnarray*}$

So der ganze spass wurde nun mit hilfe des Cauchy- Produktes umgeformt

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty (k+2)*(k+1)*a_{k+2}*x^{k} +\sum\limits_{k=0}^\infty (\sum\limits_{j=0}^k (1+j)a_{j+1} * f_{k-j})*x^{k}+\sum\limits_{k=0}^\infty (\sum\limits_{j=0}^k a_{j}*g_{k-j})*x^{k}=\sum\limits_{k=0}^\infty h_{k}* x^{k} \end{eqnarray*}$

Hier eine kurze Frage: Wofür wird das gemacht??? Und diese j´ts verwirren mich auch etwas....

jedenfalls haben wir dann die Rekursionsformel:

$\begin{eqnarray*} <br /> a_{k+2}=\frac{1}{(k+2)*(k+1)}*[h_{k}-\sum\limits_{j=0}^\infty (j+1)*a_{j+1}*f_{k-j} -\sum\limits_{j=0}^\infty a_{j}*g_{k-j} \end{eqnarray*}$

Jetzt haben wir folgendes Beispiel bekommen, welches ich nicht so ganz verstehe (ich habe versucht das beispiel, auf meine aufgabe zu übertragen, leider ohne erfolg)

$\begin{eqnarray*} y''_{x} +x*y'_{x}-y_{x}=xe^{x} <br /> <br /> mit <br /> <br /> y_{0} = 1 y'_{0}=1 \end{eqnarray*}$

unser Prof hat nun folgendes gemacht

$\begin{eqnarray*} a_{0}=1 <br /> <br /> a_{1}=1<br /> <br /> a_{2}= \frac{1}{2*1}*[h_{0} -1*a_{1} * f_{0}-a_{0}*g_{0}] = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

ich versteh hier nicht ganz was mit dem h_{0} passiert... wieso ist das 0?

Wenn wir nun zu meiner aufgabe zurück kommen, komme ich genau bis hier her

$\begin{eqnarray*} a_{n+2} = \frac{-12 \sum\limits_{k=0}* a_{k+1} * -18*\sum\limits_{k=0}*a_{k} +4-18x³}{(n+1)*(n+2)} \end{eqnarray*}$

ich weiss nicht recht was ich mit dem 4-18x³ machen soll und wie ich generell vorgehe.

wäre sehr sehr dankbar für hilfe nen tipp oder was auch immer!!

24.11.2012, 16:32

EinGast

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RE: Potenzreihenansatz
Die Koeffizienten der DGL sind ja konstant, die brauchst du also nicht noch als Reihe anzusetzen...ebenso hat die rechte Seite $\begin{eqnarray*} 4-18x^3 \end{eqnarray*}$ auch schon die Form einer Potenzreihe, es sind halt nur zwei Summanden nicht Null.

Du kannst also einfach $\begin{eqnarray*} y(x)=\sum_{k=0}^\infty a_k \, x^k \end{eqnarray*}$ setzen, die Ableitungen ausrechnen und dann in die Dgl einsetzen

25.11.2012, 15:19

skhardcore

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sry aber ich steh voll aufm schlauch

habe ich nicht schon abgelitten? bzw, in der rekursionsformel habe ich doch abgelitten und eingesetzt....

potenzreihenansatz ist ein thema, wo ich einfach nicht durchsteige...

26.11.2012, 18:44

skhardcore

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sry aber ich muss das noch mal pushen, da ich nachwievor nicht durchsteige.

könnte mir das einer irgendwie erklären?

besten dank

26.11.2012, 20:18

RavenOnJ

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Am besten, du gehst für das Verständnis schrittweise vor. Mach erst mal den Potenzreihenansatz

$\begin{eqnarray*} y = \sum_{k=0}^\infty a_k x^k \end{eqnarray*}$

Dann bilde die erste Ableitung davon und die zweite. Der Witz bei dem Lösungsverfahren mit Potenzreihenansatz ist der Koeffizientenvergleich von den Monomen mit den selben Potenzen und die rekursive Berechnung der Koeffizienten beginnend bei $\begin{align*} a_0 \end{align*}$ . Dazu gehört natürlich auch die Inhomogenität auf der rechten Seite der DGl. Zur eindeutigen Lösung der Koeffizienten braucht man dann noch die Anfangsbedingungen, sonst müsste man alle Koeffizienten zu höheren Potenzen als 1 durch $\begin{align*} a_0, a_1 \end{align*}$ parametrisieren.

27.11.2012, 10:03

skhardcore

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also der Ansatz ist ja folgender

$\begin{eqnarray*} y=\sum\limits_{k=0}^\infty a_{k}*x^{k} <br /> <br /> y= a_{0}+a_{1}*x+a_{2}*x^{2}+a_{3}*x^{3} .... <br /> <br /> <br /> <br /> y'=\sum\limits_{k=1}^\infty k*a_{k}*x^{k-1}= (k+1)*a_{k}*x^{k} <br /> <br /> y'= a_{1}+2*a_{2}*x+3a_{3}x^{2} .... <br /> <br /> <br /> <br /> y''=\sum\limits_{k=0}^\infty k*(k-1)*a_{k}*x^{k-2}= (k+2)*(k+1)*a_{k}*x^{k} <br /> <br /> y''= 2a_{2}+6a_{3}*x .... \end{eqnarray*}$

für

$\begin{eqnarray*} a_{0} und a_{1} \end{eqnarray*}$ habe ich ja schon vorgegebener Werte. In meiner Aufgabe

$\begin{eqnarray*} <br /> a_{0}=2<br /> a_{1}=3 \end{eqnarray*}$

ich denke mein problem ist nun meine Aufgabe, darauf anzuwenden. Und das mit dem Koeffizientenverglei,ch sehe ich leider auch nicht!

aber ich hoffe, dass das soweit erst einmal stimmt?

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27.11.2012, 11:29

RavenOnJ

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Zitat:

Original von skhardcore
also der Ansatz ist ja folgender

$\begin{eqnarray*} y=\sum\limits_{k=0}^\infty a_{k}x^{k} <br /> <br /> y= a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3} \cdots \end{eqnarray*}$

stimmt

Zitat:

$\begin{eqnarray*} <br /> y'=\sum\limits_{k=1}^\infty k a_{k} x^{k-1}= \color{red}(k+1) a_{k} x^{k} <br /> \end{eqnarray*}$

wie das?
Ich nehme an, du hast das Summenzeichen vergessen. [Übrigens, \cdot, wenn man unbedingt einen Multiplikationspunkt machen will, nicht *]
Ich korrigiere mal:

$\begin{eqnarray*} <br /> y'=\sum\limits_{k=1}^\infty k a_{k} x^{k-1}=\sum_{k=0}^\infty(k+1) a_{k\color{red}+1\color{black}} x^{k} <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> y''=\sum^\infty_{k=\color{red}0\color{black}} k(k-1)a_{k}x^{k-2}= \color{red}(k+2)(k+1)a_{k}x^{k} <br /> \end{eqnarray*}$

wie oben

Korrektur:

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> y''=\sum^\infty_{k=\color{red}2\color{black}} k(k-1)a_{k}x^{k-2}= \sum_{k=0}^\infty(k+2)(k+1)a_{k\color{red}+2\color{black}}x^{k} <br /> \end{eqnarray*}$

Du bist anscheinend bei der 1. Aufgabe, wie ich an den Anfangswerten für $\begin{align*} y, y' \end{align*}$ sehen kann.

Zitat:

Und das mit dem Koeffizientenvergleich sehe ich leider auch nicht!

Es geht jetzt darum, die Koeffizienten für alle Potenzen von $\begin{align*} x \end{align*}$ getrennt zu betrachten. Dies ist möglich und notwendig, weil die DGl für alle x gelten soll. Wenn man also dann nach Zusammenfassung der einzelnen Potenzreihen eine Gleichung der Art

$\begin{eqnarray*} b_0 + b_1 x +b_2 x^2 + b_3 x^3 \cdots = 0 \end{eqnarray*}$

hat, dann kann die Lösung für die Koeffizienten der Monome $\begin{align*} b_k x^k \end{align*}$ nur sein

$\begin{eqnarray*} b_0=b_1=b_2=\cdots =b_k =0, \forall k\in \mathbb{N}_0 \end{eqnarray*}$

Dies gilt natürlich auch, wenn die $\begin{align*} b_k \end{align*}$ irgendwelche Ausdrücke sind. Bei einer DGl sind dies Ausdrücke in den Koeffizienten der Monome von $\begin{align*} y,y',y'' \end{align*}$ , also den $\begin{align*} a_i \end{align*}$ . Man erhält damit ein System von Gleichungen, die jeweils die Koeffizienten zu den $\begin{align*} x^k \end{align*}$ bestimmen.

Beginne jetzt beim kleinsten Exponenten von $\begin{align*} x \end{align*}$ , also $\begin{align*} x^0 \end{align*}$ , und schreibe die Gleichung des zugehörigen Koeffizienten auf, indem du die Ausdrücke für die Potenzreihen von $\begin{align*} y,y',y'' \end{align*}$ benutzt, sowie die Inhomogenität der DGl. Mach dann dasselbe für den Koeffizienten von $\begin{align*} x^1, x^2 \end{align*}$ usw.

27.11.2012, 13:13

skhardcore

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Besten dank für deine Korrektur, seh den Wald vor läuter Bäumen nicht mehr!

Würde das soweit schon mal stimmen?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty [(k+2)(k+1)a_{k+2}+12(k+1)a_{k+1}-18a_{k}]x^{k} = 4-18x^{3} <br /> <br /> <br /> k=0 \Rightarrow (2a_{2}+12a_{1}-18a_{0})x^{0}=4-18x^{3} \end{eqnarray*}$

ähm wie ist das jetzt wenn ich k=0 setze... dann passiert doch bestimmt was mit der rechten seite? ich weiss noch nicht genau was, aber sonst könnte man ja nicht den Wert $\begin{eqnarray*} a_{2} \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Also, wenn das überhaupt richtig ist....

27.11.2012, 13:23

RavenOnJ

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Zitat:

Original von skhardcore

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty [(k+2)(k+1)a_{k+2}+12(k+1)a_{k+1}-18a_{k}]x^{k} = 4-18x^{3} \;\;\; (*)<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

genau

Zitat:

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> k=0 \Rightarrow (2a_{2}+12a_{1}-18a_{0})x^{0}=4-18x^{3} \end{eqnarray*}$

Da ist jetzt wieder der Wurm drin. Du sollst die einzelnen Koeffizienten vergleichen, also alles zur Potenz k=0. In dieser Gleichung hat das $\begin{align*} x^0 \end{align*}$ dann nichts mehr zu suchen. Die rechte Seite von (*) kann man schreiben als

$\begin{eqnarray*} 4x^0 - 18 x^3 \end{eqnarray*}$

Der Koeffizient 4 muss also noch in die Gleichung zu k=0 dazu, der Rest nicht!

27.11.2012, 13:45

skhardcore

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heisst quasi

$\begin{eqnarray*} k=0 \Rightarrow 2a_{2}+12a_{1}-18a_{0}=4<br /> <br /> a_{2}=2 \end{eqnarray*}$

27.11.2012, 14:11

RavenOnJ

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Freude

27.11.2012, 15:02

skhardcore

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my dear lord was ne schwere geburt!

ich danke dir schon mal viel mals für deine mühe, aaaaber ich bin (natürlich Augenzwinkern

Augenzwinkern

) noch nicht ganz am ende.

Also ich sollte ja die ersten sechs Koeffizienten bestimmen. das habe ich gerade getan

$\begin{eqnarray*} <br /> a_{2} = 2<br /> <br /> a_{3} = 1<br /> <br /> a_{4} = 0<br /> <br /> a_{5}=20a_{5}+48a_{4}-18a_{3} = -18<br /> <br /> a_{5}= 0 \end{eqnarray*}$

und nun, da die rechte seite ja 0 ist kann ich eine Rekursionsformel für k $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 4 bestimmen

$\begin{eqnarray*} a_{k+2}= \frac{-12(k+1)a_{k+1}+18a_{k}}{(k+2)(k+1)} \end{eqnarray*}$

wäre das korrekt? ich hab irgendwie nen schlechtes gefühl dabei Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.11.2012, 15:24

RavenOnJ

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Zitat:

Original von skhardcore

$\begin{eqnarray*} <br /> a_{2} = 2<br /> <br /> a_{3} = 1<br /> <br /> a_{4} = 0<br /> <br /> \color{red}a_{5}=\color{black}20a_{5}+48a_{4}-18a_{3} = -18<br /> <br /> a_{5}= 0 \end{eqnarray*}$

OK - bis auf den kleineren Fehler.

Zitat:

und nun, da die rechte seite ja 0 ist kann ich eine Rekursionsformel für k $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 4 bestimmen

$\begin{eqnarray*} a_{k+2}= \frac{-12(k+1)a_{k+1}+18a_{k}}{(k+2)(k+1)} \end{eqnarray*}$

wäre das korrekt? ich hab irgendwie nen schlechtes gefühl dabei Augenzwinkern

Augenzwinkern

Schlechtes Gefühl unnötig, das geht. Was folgt daraus?

27.11.2012, 18:27

skhardcore

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ja was soll ich ich sagen...

danke dir vielmals Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.11.2012, 21:11

RavenOnJ

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danke, aber das wollte ich jetzt nicht hören, sondern die endgültige Lösung für y.

Die andere Aufgabe geht klar, nehm ich an.

29.11.2012, 12:54

skhardcore

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sry war die letzten tage etwas busy...

wäre das korrekt?

y= x³ + 2x² + 3x + 2

und nein die andere aufgabe muss ich mir nun noch mal anschauen. Aber die Aufgabe hier hatte aufjedenfall Vorrang, da die morgen abgegeben wird.

29.11.2012, 13:00

RavenOnJ

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Freude

29.11.2012, 13:03

skhardcore

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die andere Aufgabe werd ich denke ich, morgen mal anschauen!

Besten dank dir bis hierhin Augenzwinkern

Augenzwinkern

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