Stetigkeitsnachweis einer Funktion

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24.11.2012, 16:03	alcardaalanda	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeitsnachweis einer Funktion Hallo zusammen. Ich hänge hier gerade an einer Aufgabe, die auf dem aktuellen Übungsblatt steht. Diese ist bestimmt einfach, aber irgendwie habe ich ein Brett vor dem Kopf. Vorher habe ich in der Aufgabe bereits gezeigt: Sind $\begin{eqnarray} (M_{1},d_{M_{1}}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (M_{2},d_{M_{2}}) \end{eqnarray}$ metrische Räume, $\begin{eqnarray} A_{1} , A_{2} \end{eqnarray}$ abgeschlossene Teilmengen mit $\begin{eqnarray} A_{1} \bigcup A_{2} = M_{1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f : M_{1} \longrightarrow M_{2} \end{eqnarray}$ eine Abbildung mit $\begin{eqnarray} f\|_{A_{1}}, f\|_{A_{2}} \end{eqnarray}$ stetig, so ist auch $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ stetig. Damit soll ich nun zeigen: $\begin{eqnarray} M_{1} = \mathbb R^2, M_{2}=\mathbb R \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} f : \mathbb R ^2 \longrightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} $ f(x,y)=\left\{\begin{array}{cl} x-y, & \mbox{falls }x<y\\ (x-y)^2, & \mbox{falls} x\geq y \end{array}\right. $ \end{eqnarray}$ ist stetig. Um dies mit der vorigen Aufgabe zu zeigen, müsste ich ja den $\begin{eqnarray} \mathbb R ^2 \end{eqnarray}$ als Vereinigung zweier abgeschlossener Teilmengen darstellen. Aber soweit ich weiß, ist $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ doch weder offen noch abgeschlossen. Vielleicht stehe ich aber auch völlig auf dem Schlauch und sehe nur nicht, was offensichtlich ist. Kann mir vielleicht jemand von euch einen Tipp geben?
24.11.2012, 16:34	weisbrot	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeitsnachweis einer Funktion IR ist standardmäßig offen und abgeschlossen, ebenso wie IR^2, also haut das schon hin. du hast doch eine quasi abschnittsweise definierte funktion, beide "teilfunktion" sind wohl bekanntermaßen stetig, also wie könnte man sich hier wohl A_1 und A_2 wählen? lg
24.11.2012, 16:56	alcardaalanda	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürlich ist IR offen und zusammenhängend... Ich würde jetzt $\begin{eqnarray} A_{1} = \mathbb R \times \left\{0\right\} , A_{2} = \left\{0\right\} \times \mathbb R \end{eqnarray}$ wählen. Wäre das i.O.?
24.11.2012, 17:04	weisbrot	Auf diesen Beitrag antworten »
ich glaube nicht dss die vereinigung davon gannz IR^2 ist, das sind dann nur die koordinatenachsen. ich hatte gehofft du würdest dich nach den definitionsabschnitten der funktion richten, denn nur so kannst du das vorher bewiesene leicht anwenden. lg
24.11.2012, 17:23	alcardaalanda	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm... scheinbar scheine ich wirklich auf dem Schlauch zu stehen. Du hast recht, das sind bei mir nur die Koordinatenachsen. Und was wäre mit $\begin{eqnarray} A_{1} =\left\{(a,b) \| a,b\in \mathbb R , a-b<0\right\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A_{2} =\left\{(c,d) \| c,d\in \mathbb R , c-d\geq 0\right\} \end{eqnarray}$ Dann ist doch $\begin{eqnarray} A_{1}\bigcup A_{2}=\mathbb R \end{eqnarray}$ und mehr noch, dann ist doch sogar $\begin{eqnarray} A_{1}= A_{2} = \mathbb R \end{eqnarray}$ , oder?
24.11.2012, 17:32	weisbrot	Auf diesen Beitrag antworten »
das sieht schonmal nicht völlig verkehrt aus. nur musst du noch beachten, dss dein A_1 nicht abgeschlossen ist. und du meinst wohl die vereinigung =IR^2, und nicht IR. und die einezlnen mengen sind jeweils weder ganz IR noch ganz IR^2. lg
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24.11.2012, 17:57	alcardaalanda	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das Quadrat habe ich versehentlich unterschlagen. Ich bin jetzt unsicher, was ich tun kann. Ich weiß, dass der Rand und der Abschluss einer Menge abgeschlossen sind.Ist denn nun der Abschluss von $\begin{eqnarray} A_{1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \overline{A_{1}} =\left\{(a,b) \| a,b\in \mathbb R , a-b\leq 0\right\} \end{eqnarray}$ ? Weil darauf ist f sicherlich auch noch stetig und dann würde alles klappen.
24.11.2012, 18:02	weisbrot	Auf diesen Beitrag antworten »
neispielsweise und ist klar warum f auf dem ganzen abschluß stetig ist? lg
24.11.2012, 19:23	alcardaalanda	Auf diesen Beitrag antworten »
Da genügt es doch, die Linksstetigkeit von x-->y nachzuweisen, oder? Und das ist ja nicht schwer.
24.11.2012, 19:57	weisbrot	Auf diesen Beitrag antworten »
öhm, also die stetigkeit auf dem rand, ja. lg

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