Mengen zeichnen

24.11.2012, 16:25

Pitch

Mengen zeichnen

Meine Frage:
Hallo,

ich bin etwas unsicher, was das Zeichnen von Mengen angeht: Ich soll die Menge aller $\begin{eqnarray*} z \in\ \mathbb C = \mathbb R \times \mathbb R \end{eqnarray*}$ skizzieren, die folgende Bedingungen erfüllen:

a) $\begin{eqnarray*} z + \overline z = z \cdot \overline z \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} | z | < | z - 2i| < 3 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Bei beiden Aufgaben habe ich $\begin{eqnarray*} z=a + bi \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \overline z = a-bi \end{eqnarray*}$ eingesetzt.

Bei a) hab ich dann soweit umgeformt bis $\begin{eqnarray*} 2a = a^2+b^2 \end{eqnarray*}$ rauskam, doch ich weiß nicht, wie ich das zeichnen soll. Ich hab es dann noch nach b umgeformt, sodass ich $\begin{eqnarray*} b = \sqrt{a(2-a)} \end{eqnarray*}$ erhalte, aber wenn ich das zeichne, sieht es irgentwie seltsam aus... Wie ist es richtig?

Bei b) scheitere ich bereits an der Umformung: Ich hab alles eingesetzt und die Defintion des Betrages der komplexen Zahlen angewandt bis ich folgendes hatte: $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2 + b^2} < \sqrt{a^2+b^2-4b+4} <3 \end{eqnarray*}$ und hab dann alles quadriert: $\begin{eqnarray*} a^2+b^2 <a^2+b^2-4b+4<9 \end{eqnarray*}$ . Doch jetzt weiß ich nicht, wie ich mit dem doppelten $\begin{eqnarray*} < \end{eqnarray*}$ umgehen muss.

Ich hoffe, ihr könnt mir das erklären. smile

24.11.2012, 16:52

weisbrot

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RE: Mengen zeichnen
wenn du noch dran denkst, dass du in a) noch die lösungsmenge um b = - wurzel(...) erweitern musst dann ist doch gut.
bei b) finde zuerst die lsgsmenge der einen ungleichung raus und schneide die dann mit der lsgsmenge der anderen. geometrische anschauung hilft auch immer Augenzwinkern

24.11.2012, 18:16

Pitch

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Okay, danke! smile

Die Zeichnung von a) betrifft aber nur den Defintionsbereich der Wurzel, also [0,2], oder?

Wenn ich bei b) $\begin{eqnarray*} a^2+b^2 < a^2+b^2-4b+4 \end{eqnarray*}$ umforme, komme ich auf b<1. Aber bei der 2. Ungleichung komme ich von $\begin{eqnarray*} a^2+b^2-4b+4 < 9 \end{eqnarray*}$ nur auf $\begin{eqnarray*} a^2+b^2 < 5 +4b \end{eqnarray*}$ . Und wenn ich b^2 auf die andere Seite bringe, macht es auch keinen Sinn. unglücklich

Ich kann da zwar auch die Wurzel ziehen, aber ich hab dann keine Ahnung wie ich das zeichnen muss. Was mach ich falsch?

24.11.2012, 18:28

weisbrot

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Zitat:

Okay, danke! smile

Die Zeichnung von a) betrifft aber nur den Defintionsbereich der Wurzel, also [0,2], oder?

ja natürlich.
b) sieht auch vernünftig aus. das zweite ding kannst du wieder so umstellen, dass du a in gewisser weise als funktion von b hast, nur halt mit < bzw. > statt =. also den graphen der funktion (wenn du dir = anstatt < bzw. > denkst) kannst du zeichnen, und die entspr. lösungsmenge liegt dann echt darunter bzw. darüber, je nachdem ob du < oder > hast.
ist das verständlich verwirrt

hoffentlich Augenzwinkern

24.11.2012, 20:35

Pitch

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Ja, deine Erklärung war verständlich. Freude

Ich hab's noch mal so umgeformt: $\begin{eqnarray*} a < +/- \sqrt{5+b(4-b)} \end{eqnarray*}$ . Allerdings ist die Abhängikeit hier ja genau anders herum als bei a) und da hatte ich (gedanklich) a=x und b=y gesetzt, um den Kreis einzuzeichnen. Kann ich hier nun einfach b=x setzen oder muss ich den ganzen Graphen dann noch an der x=y Achse spiegeln?

24.11.2012, 22:03

weisbrot

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aber beim wurzelziehen gibts keine fallunterscheidung, nur beim quadrieren.
und wenn du halt x in abh. von y darstellst, dann drehst du das koordinatensystem gedanklich und zeichnest wie gewohnt, bzw spiegelst einfach an der x=y-gerade.
lg

24.11.2012, 22:11

Pitch

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Okay, also muss ich bei der b) tatsächlich spiegeln. Aber der Graph müsste doch eigentlich einen Kreis wie bei a) darstellen, nur eben noch "abgeschnitten" wegen den b<1 oder wie meinst du das, dass es hier keine Fallunterscheidung gibt?

25.11.2012, 14:40

weisbrot

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es tut mir leid, mein post gestern ist in müdigkeit und krankheit entstanden, natürlich hast du auch hier (beim wurzelziehen) eine fallunterscheidung und daher die zwei "lösungen".
aber hier musst du genau aufpassen und dir klarmachen was passiert:
allgemein: hast du $\begin{eqnarray*} a^2 < b \end{eqnarray*}$ , so kannst du die wurzel ziehen und bekommst: $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2} = |a| < \sqrt b \end{eqnarray*}$ (die ungleichung bleibt wegen strenger monotonie der wurzelfunktion erhalten). dann bekommst du für a (nach fallunterscheidung nach a): $\begin{eqnarray*} -\sqrt b < a < \sqrt b \end{eqnarray*}$ .
hoffe jetzt ist alles wieder geradegebogen unglücklich

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