Algebra Multiple Choice Frage

24.11.2012, 17:10

Heiri

Algebra Multiple Choice Frage

Meine Frage:
Gegeben sei die lineare Abbildung:

$\begin{eqnarray*} f: R^3 \rightarrow R^3, (x,y,z)\mapsto (x+z,2z,x+2y+3z) \end{eqnarray*}$

Welches ist die zu f gehörige Matrix bzgl. der Basis $\begin{eqnarray*} (1,1,0),(0,1,1),(1,1,1). \end{eqnarray*}$

a) $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & -1/2 & 0 \\ -1/2 & -1/2 & 1/2 \\ 0 & 1/2 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

c) $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} -3 & -1 & 4 \\ -3 & 1 & 4 \\ -4 & 0 & 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

d) $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} -3 & -3 & -4 \\ -1 & 1 & 0 \\ 4 & 4 & 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
ich hab mir folgendes gedacht:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1x+0y+1z \\ 0x+0y+2z \\ 1x+2y+3z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
wäre ja, wenn ich die x,y,z und die Additionszeichen weglasse, genau die Antwort a).

Das kommt mir aber ein wenig zu einfach vor. Vorallem weil ich so ja die Basen nicht berücksichtige.
Ehrlich gesagt weiss ich aber nicht was ich genau mit diesen Basen anstellen soll.
Weiss jemand rat, oder einen link bzgl. diesem Thema?

Gruss Heiri

26.11.2012, 17:22

RavenOnJ

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warum soll dir jemand helfen, wenn du die Lösung schon hingeschrieben hast?

Edit: Da lag ich schief. In Bezug auf die oben angegebene Basis ist a) nicht die Lösung.

27.11.2012, 16:48

Heiri

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Herzlichen Dank für deine Antwort RavenOnJ.
Es kam mir doch ein wenig zu einfach vor, und die Lösungen werden erst noch bekannt gegeben.

in diesem Falle sind die Basen eben doch nur angegeben, um Verwirrung zu stiften.

Grüsse

Heiri

19.12.2012, 11:35

Heiri

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Nachdem nun diese Aufgabe besprochen wurde, wollte ich nur noch kurz sagen:

Antwort a wäre korrekt, falls die Matrix bzgl. der Standardnormalbasis abgebildet würde.
Da dies aber in dieser Aufgabe nicht der Fall ist, ist natürlich antwort d die einzig richtige.

Heiri

19.12.2012, 12:11

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Heiri
Nachdem nun diese Aufgabe besprochen wurde, wollte ich nur noch kurz sagen:

Antwort a wäre korrekt, falls die Matrix bzgl. der Standardnormalbasis abgebildet würde.
Da dies aber in dieser Aufgabe nicht der Fall ist, ist natürlich antwort d die einzig richtige.

Heiri

Die Basis hatte ich überlesen, sorry. Sonst wär mir das auch aufgefallen, dass a) leider doch die falsche Antwort ist.

19.12.2012, 12:34

RavenOnJ

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RE: Algebra Multiple Choice Frage
Es ist

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}^{-1} =\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit wird die Matrix-Transformation von $\begin{align*} \tilde{A} \end{align*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}^{-1} \cdot \tilde{A}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & -3 & -4 \\ -1 & 1 & 0 \\ 4 & 4 & 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} \tilde{A} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also ist tatsächlich d) die Lösung.

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