Ringisomorphismus zeigen

Neue Frage »

Nook Auf diesen Beitrag antworten »
Ringisomorphismus zeigen
Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich komme leider bei dieser Aufgabe nicht weiter:

Betrachten Sie den Ring mit komponentenweiser Addition und Multiplikation und zeigen Sie, dass er als Ring isomorph zu ist.

Meine Ideen:
Zuerst einmal würde ich gerne wissen, was mit "komponentenweiser Addition und Multiplikation" gemeint ist. Es kann ja unmöglich sein, dass ich alle Elemente von einzeln (z.B. in einer Verknüpfungstabelle) erst mit Plus und dann mit Mal verknüpfen soll, oder?

Ein Ringisomorphismus ist ja ein bijektiver Ringhomomorphismus. Doch muss man bei überhaupt noch zeigen, dass es ein Ringhomomorphismus ist? Sieht doch eigentlich recht eindeutig aus...

Doch wie zeige ich dann die Bijektivität? Hat es zufällig was mit dem Kern und Bild von f zu tun?

Wie ihr seht, habe ich ziemlich viele Fragen zu der Aufgabe und ich hoffe, dass ihr sie mir beantworten könnt, damit ich mich an der Aufgabe versuchen kann. Mir fehlt einfach ein brauchbarer Ansatz...

Danke schon mal in Voraus! smile
Nook Auf diesen Beitrag antworten »

Mir ist aufgefallen, dass ich oben einen Denkfehler bei der Defintion von f gemacht habe. Es ist:

Hier bin ich dann auch auf ein Problem bei der Bildung des Homomorphismus bezüglich + gestoßen:

gilt:



Ich glaube selbst nicht, dass das stimmt, aber ich weiß nicht, woran es liegt. Und könntet ihr mir bitte erklären, wie das mit der "komponentenweiser Addition und Multiplikation" gemeint ist, damit ich weiter komme? Danke im Voraus.
 
 
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ringisomorphismus zeigen
Für die injektivität:

Zeige, dass der kern deiner Funktion nur aus dem neutraken Element besteht.

Warte mal kurz, ich bin weg, bald aber wieder da. Augenzwinkern
charlydelta Auf diesen Beitrag antworten »

Ich arbeite an der selben Aufgabe...
Ich verstehe unter komponentweiser Multiplikation und Additon folgendes:
Angenommen, du hast (x, y)+(a, b), wobei x und a Element von Modulo 7 und y und b Element von Modulo 13 ist
Dann gilt: (x, y)+(a, b) = (x+a, y+b)
Und das gleiche mit Multiplikation.
Ich hoffe ich konnte helfen
charlydelta Auf diesen Beitrag antworten »

Die Lösung für diese Aufgabe scheint mir so offensichtlich, dass ich keine Ahnung habe wie ich das zeigen soll...
Z/7Z x Z/13Z -> Z/91Z...
Die Definitionsmenge hat damit ganz offenbar genau so viel Elemente wie die Bildmenge (da 7*13=91) , wodurch sich auch die Bijektion ergibt.
f([7], [13]) = [91] = [0] = f([0], [0]), womit quasi f([a], ) nach [a*b] abbildet...
Ich wüsste nicht wie ich jetzt [B]zeigen
soll, dass das ein Ringisomorphismus ist.
Ich bin mir sicher, dass ich das nicht einfach so stehen lassen kann, nur wie soll ich das weiter ausführen?
Nook Auf diesen Beitrag antworten »

@charlydelta: Zur komponentenweise Addition/Multiplikation: Genügt es wirklich schon, einfach (x, y)+(a, b) = (x+a, y+b) und das gleiche mit Mal hinzuschreiben? Das wären ja dann nur zwei Zeilen oder was ist mit "Betrachten Sie den Ring" gemeint?

Was den Ringisomorphismus angeht, hätte ich eben erst gezeigt, dass ein Ringhomomorphismus vorliegt, wie ich es oben (wohl falsch) versucht habe und dann Kern und Bild abgebildet. Klingt theoretisch gut, aber in der Praxis will's noch nicht ganz klappen. verwirrt
charlydelta Auf diesen Beitrag antworten »

Würde ich schon sagen, ja, aber genauer weiß ich es auch nicht... Ich wäre auch über professionellen Rat zu dieser Aufgabe sehr dankbar smile

Ob dein Weg richtig oder falsch ist kann ich dir nicht sagen, dafür fehlt mir das Fachwissen unglücklich
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Um es kurz zu machen: Hattet ihr den chinesischen Restklassensatz schon?
charlydelta Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Math1986
Um es kurz zu machen: Hattet ihr den chinesischen Restklassensatz schon?


Sagt mir persönlich nichts, eine Suche im Skript brachte auch kein Ergebnis.
Evtl. unter anderem Namen oder Hilfssatz... Ich schau mal in Wikipedia und guck ob ich im Skript was äquivalentes finde smile

Edit: Nein, nichts. Aber ich sehe, der Satz würde aus der Aufgabe eine Sache von einer Minute machen :/
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von charlydelta
Edit: Nein, nichts. Aber ich sehe, der Satz würde aus der Aufgabe eine Sache von einer Minute machen :/
Naja, du kannst den Ringisomorphismus ja aus dem Satz übernehmen, so viel Arbeit ist das dann nicht mehr.
charlydelta Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komm nur mit dem Wikipediaartikel nicht ganz klar... Dort wird mit vielen Begriffen rumgeworfen die ich zuvor noch nicht gehört habe :/
Ich hab jetzt versucht den Ringhomomorphismus auf Injektivität und Surjektivität zu prüfen:

Ker f = {[0], [0]} = {0} => Kern besteht nur aus dem neutralen Element => f ist injektiv

Nur weiß ich nicht wie ich die Surjektivität zeigen soll...

Und auch wenn ich das habe, glaube ich nicht, dass das alles ist. Mir scheint es als ob einiges fehlt...
charlydelta Auf diesen Beitrag antworten »

Nach dem Artikel wäre der Isomorphismus:

f: Z/91Z -> Z/7Z x Z/13Z
x+91Z |-> (x+7Z, x+13Z)

Aber wofür steht das x?
und was bedeutet das, wenn nZ da steht? Die Notation ist mir nicht geläufig...
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »