Integral einer mehrdimen. Funktion auf Zylinder berechnen

24.11.2012, 20:48

Jupiter90

Integral einer mehrdimen. Funktion auf Zylinder berechnen

Meine Frage:
Hallo,

gegeben ist die Funktion f(x,y,z)= $\begin{eqnarray*} \frac{e^{-z²} }{\sqrt{x² + y²} } \end{eqnarray*}$ .
Ich soll diese auf $\begin{eqnarray*} B^{2} (1) \times \mathbb R \end{eqnarray*}$ integrieren.

Meine Ideen:
Wie gehe ich da vor? Unser Prof. hat das mit Riemann iterieren abgetan. Rechne ich also das Integral von innen nach außen durch? Also drei Integrale in den Grenzen -1,1 .. -1,1 und -undendlich bis unendlich?

Wenn ja, wieso spielt es keine Rolle, dass die Intervalle offen sind?

24.11.2012, 20:54

HAL 9000

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Du solltest ja eure Symbolik besser kennen als ich, aber ich würde stark vermuten, dass mit $\begin{eqnarray*} B^2(1) \end{eqnarray*}$ die Einheitskreisscheibe gemeint ist, d.h.

$\begin{eqnarray*} B^2(1) = \left\{ (x,y)\in\mathbb{R}^2 \bigm| x^2+y^2\leq 1 \right\} \end{eqnarray*}$

24.11.2012, 21:35

Jupiter90

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Das ist richtig. Bin mir allerdings gerade auch nicht hundertprozentig sicher, ob der Rand mit dabei ist. Wäre das Vorgehen denn so richtig?!

24.11.2012, 21:43

HAL 9000

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Zitat:

Original von Jupiter90
Bin mir allerdings gerade auch nicht hundertprozentig sicher, ob der Rand mit dabei ist.

Das ändert nichts am Integralwert.

Was meinst du mit "richtigem Vorgehen"? Das hier

Zitat:

Original von Jupiter90
Also drei Integrale in den Grenzen -1,1 .. -1,1 und -undendlich bis unendlich?

klingt ja eher nach dem Quadrat $\begin{eqnarray*} [-1,1]\times [-1,1] \end{eqnarray*}$ als nach der Kreisscheibe, daher ja auch mein erster Beitrag oben! Sinnvoller scheint hier ein Übergang zu Zylinderkoordinaten, oder mit anderen Worten: $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ so lassen, aber $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ in Polarkoordinaten transformieren.

24.11.2012, 22:01

Jupiter90

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Okay, das macht Sinn, danke sehr. Dann werde ich das mal so versuchen!

Eine andere Frage habe ich noch. Bei einer anderen Aufgabe integriere ich über das offene Intervall (a,b). Wieso ist das das gleiche wie, wenn ich über das abgeschlossene Intervall [a,b] integriere?

24.11.2012, 22:33

HAL 9000

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Zitat:

Original von Jupiter90
Wieso ist das das gleiche wie, wenn ich über das abgeschlossene Intervall [a,b] integriere?

Bei Riemann-Integralen gibt es diese Unterscheidung gar nicht! Und beim Lebesgue-Integral über das Lebesgue-Borel-Maß ist es auch wurst, da die Intervallenden eh das Maß Null haben.

Was sollen diese Grundlagenfragen nach dem Urschleim an dieser Stelle hier, hast du denn bei der Definition des Integrals überhaupt nicht aufgepasst? unglücklich

24.11.2012, 22:36

Jupiter90

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Haben Integralrechnung nur in einer Dimension gemacht und das ist schon eine gute Weile her. Jetzt behandeln wir Integration von Mannigfaltigkeiten und anscheinend bin ich noch etwas erschlagen um mich an grundlegende Dinge zu erinnern. Augenzwinkern

27.11.2012, 16:32

Jupiter90

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Hallo,

Habe das ganze jetzt in Zylinderkoordinaten geschrieben. Es ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \int_\infty ^\infty \! \, \int_0^\pi \! \, \int_0^1 \! e^{-z²} \, drd\lambda dz \end{eqnarray*}$

Das erste integral startet eigentlich bei -unendlich, und das zweite geht bis 2Pi.. irgendwie hat das mit Latex nicht geklappt. Der Rest passt so.

Es ergibt sich dann als Endergebnis $\begin{eqnarray*} \sqrt{4\pi^{3} } \end{eqnarray*}$ .

Kann das jemand bestätigen?

28.11.2012, 08:59

Jupiter90

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Kann mir da niemand kurz weiter helfen ?

28.11.2012, 11:47

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Jupiter90

$\begin{eqnarray*} \int_\infty ^\infty \! \, \int_0^{\color{red}2\color{black}\pi} \! \, \int_0^1 \! e^{-z²} \, drd\lambda dz \end{eqnarray*}$

kleiner Fehler in der Integrationsgrenze, aber du hattest ja das richtige geschrieben. Vielleicht hättest du es besser so geschrieben, macht aber keinen wesentlichen Unterschied (das Gausssche Integral zuerst "ausrechnen"):

$\begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi} \! \, \int_0^1 \! \int_\infty ^\infty \! \, e^{-z²} \, dz dr d\lambda \end{eqnarray*}$

Zitat:

Es ergibt sich dann als Endergebnis $\begin{eqnarray*} \sqrt{4\pi^{3} } \end{eqnarray*}$ .

oder $\begin{eqnarray*} 2\pi\sqrt{\pi} \end{eqnarray*}$ . Freude

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